·414· 北京科技大学学报 1998年第5期 程组，计算李雅普诺夫指数，就能得到比较准确的值，从而作出准确的判断.图2()给出了滑 动轴承一转子系统在混沌状态下的李雅普诺夫指数（⑦）)， 1.0 10 款 (a) (b 0.0 -1.0 3 班 -2.0 -3.0 -4.0 2 -5.0 0100200300400500 2345 转子转速/(r·min1) log(f/Hz) 图2滑动轴承一转子系统混沌状态下的李雅普诺夫指数()和双对数谱图(b) λ0.051；1z=-0.22;k=-1.25;1,=-4.06 由单一时间序列计算李雅普诺夫指数则较难，文献[3]提出的面积演化法是一种近似计 算方法.即对于近似平面局域结构的(+，0，-)谱的吸引子（要求久>>入），在重构吸引子中， 确定3个邻近点PO),(0),O),其中PO)是吸引子中任意一点，如可取第1点 X-{x,x+",X+m-r},m为嵌人维.(O),O)为PO)的最近邻点，所得三角形的面积记 为A(),然后按时间序列向前发展得到PO)在时刻1，的新位置P1),再寻找PI)的最近邻点 Q(1),R1),所得三角形的面积为4()，重复这一步骤直到所有数据都用到，正的李雅普诺夫 指数的估计值为： (3) 式中，1为第k步代换时间，n表示代换总步数.同样，由于嵌人维难以确定，只能用平面近似， 而且延迟时间的选择常常不当，很难得到较准的李雅普诺夫指数，这种现象尤其在信噪比低 时更明显，所以，这种方法往往在已知动力学系统中使用. 2.4关联维数 在众多的分形维数中，关联维数对吸引子的不均匀性反应敏感，更能反映吸引子的动态 结构，而且求关联维数的GP算法较别的方法简单可靠，所以，人们常用关联维数来描述时间 序列的分形特征.设某时间序列具有分形特征，其重构相空间得到的向量序列为， {X,X,…,X},则关联维数可由下式得到： In C(/)+c D,lim (4) -0 In/ 其中：c为常数；C0=(11N∑-K-X),称为关联积分，)= 1,>0 w= (0,x<0 关联维数用以描述吸引子的结构很好，但是当不知某时间序列是否分形时，一般不用关 联维数作为分形的判据.因为除了相空间重构困难，无标度区也难以确定.在信噪比低时尤其 如此.图3为不同信噪比下的混沌时间序列关联积分图问.由图可见，随噪声水平提高，无标 度区越来越窄，直至没有，· 4 14 · 北 京 科 技 大 学 学 报 19 9 8年 第 5期 程 组 , 计算李 雅 普诺夫 指 数 , 就 能得 到 比较 准 确 的值 , 从 而作 出准确 的判 断 . 图 2( a) 给出了滑 动轴承一转 子 系统在 混 沌状 态下 的李 雅普诺夫指 数 ()A 17] . , .0 .0 0顾比二二 一 1 . 0 一 2 . 0 又 l 又3 孟 2 一 3 . 0 一 4 . 0 46 勺4CU à的一、 。助 象靶报姗枷婚蟹粉 一 5 . 0 0 10 0 2 0 0 30 0 4 00 5 0 0 1 2 3 4 5 6 转子转速 / ( r · im n 一 , ) 1 0 9 f( / zH ) 图 2 滑动轴承一转子系统混沌状态下 的李雅普诺夫指数 (a) 和双对数谱图(b) 又一司 · 0 5 1 ;又2 = 一 0 · 2 2 ;又户一 1 . 2 5 ;又; = 一 4 . 06 由单一时 间序 列计 算李 雅普 诺夫 指 数则 较难 , 文 献 【3] 提 出 的面 积 演化 法是 一种 近 似计 算方 法 . 即对 于近 似平 面局 域结 构 的 (+, 0, 一 )谱 的吸 引子 (要 求 防 3 } > > 又 1 ) , 在 重构 吸引 子 中 , 确 定 3 个 邻 近 点 代0) , Q(0) , 域0) , 其 中 代0) 是 吸 引 子 中 任 意 一 点 , 如 可 取 第 l 点 戈抓 x , , x , 十 r , ” ` , xl 十 ( , 一 , ) r } , m 为嵌 人 维 · Q(0 ) , 风0) 为 代0) 的最 近邻点 , 所得 三角 形 的面积 记 为 成 t0) , 然 后按 时间序列 向前发 展得 到 代0) 在 时刻 t l的新 位 置 代 l) , 再寻 找 代 1) 的最 近邻点 (Q l), 那 ) , 所 得三 角形 的 面积 为 (A t , ) , 重复 这一 步骤 直到 所 有数据都用 到 . 正 的李 雅普诺夫 指 数 的估计值 为 : 凡 一 六 客 (A *t) 0 9不币 ( 3 ) 式 中 , t *为 第 k 步代换 时 间 , 。 表示代 换总步数 . 同样 , 由于 嵌人 维难 以 确定 , 只能用平 面近似 , 而且 延 迟 时 间的 选择 常常不 当 , 很 难得 到 较 准的李 雅普 诺夫 指数 , 这 种现 象尤其 在信 噪 比低 时更 明显 . 所 以 , 这种方 法往 往在 已 知 动力学 系统 中使用 . .2 4 关 联维数 在众多 的 分 形 维数 中 , 关联 维数 对吸引 子的 不均 匀性 反应 敏感 , 更能反映 吸引 子的动 态 结构 , 而 且求关 联 维数的 -G P 算法 较别的方法 简单可靠 , 所 以 , 人 们常用 关联维数 来描述 时间 序 列 的 分 形 特 征 . 设 某 时 间 序 列 具 有 分 形 特 征 , 其 重 构 相 空 间 得 到 的 向 量 序 列 为 , { 戈 , 弋 , 一 戈 } , 则 关联 维 数可 由下式 得到 【6] : D 2 . l n (C l ) + ` 思) 丽 ( 4 ) x > 0 x < 0 电 1 , nU r龟J戈lr 其 中 : 。 为 常数 ; c( 。 一 (I / N Z ) 艺(H ` 一 }戈一 刀) , 称 为关联 积分 , (H x) - 关联 维数用 以 描述 吸 引 子 的结 构很 好 , 但是 当不 知某 时 间序列 是否 分 形时 , 一般 不用 关 联维 数作为分 形 的判 据 . 因 为除 了相 空 间重构困难 , 无 标度 区 也难 以 确定 . 在信噪 比低 时尤其 如此 . 图 3 为 不 同信噪 比下 的混 沌 时间序 列 关联 积 分 图 15] . 由图可 见 , 随 噪声 水平提 高 , 无标 度 区 越来 越 窄 , 直 至 没有