实分析精选50题 证明: 设E,F∈S,如果E,F满足A(E△F)=0,则我们将E,F看作相等的.记为 E=F[山.在新的相等意义下,测度μ在S上仍然无歧义地确定 又∵以(E)=0与E=等价,所以在新的相等意义下成为一个正测度, (S(),)作成一个测度环 设R表示S中一切具有有限测度的元素的集合,对于E,F∈R,令: P(E,F)=(E△F) 这是R上的一个度量,称R为(S(4),4)连带的度量空间 考虑下面的两个引理: 引理1:R按度量p(E,F)=以(E△F)作成一个完备度量空间 证明:若{En}是R中一个基本列,即 P(En,En)→>0分(En△En)→>0 ∫x2-x.1m→0(m→am→) 所以{x}是依测度基本的,故存在可测函数f,使得{x}依测度收敛于f 根据黎斯引理,存在一个子利/,使得)几平处处收敛于f.显然∫也 是一个集合的特征函数,(设为E)所以由积分的定义和控制收敛定理,有: 「x2-1→0(→),即∫1z-x→0(m→) 所以P(EnE)→0(E,△E)→0 即:R按度量p(E,F)=以(EAF)作成一个完备度量空间 引理2:D是定义在S上的有限测度,且U对于是绝对连续的,则U在R上可 以无歧义地确定,且是R上的连续函数 证明 由于U对于是绝对连续的,所以p(E△F)=0→U(E△F)=0 显然U在R上可以无歧义地确定,事实上由山(E△F)的定义,只考虑在零点 的连续性情形实分析精选 50 题 7 证明： 设 EF S , ∈ ，如果 E F, 满足μ( )0 E FΔ = ，则我们将 E F, 看作相等的．记为： E F = [ ] μ ．在新的相等意义下，测度μ 在S 上仍然无歧义地确定． 又∵μ() 0 E = 与 E = ∅ 等价，所以在新的相等意义下 μ 成为一个正测度， ( ( ), ) S μ μ 作成一个测度环． 设 R 表示 S 中一切具有有限测度的元素的集合，对于 EF R , ∈ ，令： ρ(, ) ( ) EF E F = Δ μ ． 这是 R 上的一个度量，称 R 为( ( ), ) S μ μ 连带的度量空间． 考虑下面的两个引理： 引理 1： R 按度量 ρ(, ) ( ) EF E F = μ Δ 作成一个完备度量空间． 证明：若{En} 是 R 中一个基本列，即： (, ) 0 ( ) 0 ρ EE E E nm n m →⇔ Δ → μ 0 , ( ) X E E n m ∴∫ χ χμ − → →∞ →∞ d nm 所以{χ En }是依测度基本的，故存在可测函数 f ，使得{χ En }依测度收敛于 f ． 根据黎斯引理，存在一个子列{χ Enk } ，使得{χ Enk } 几乎处处收敛于 f ．显然 f 也 是一个集合的特征函数，（设为 E ）所以由积分的定义和控制收敛定理，有： 0 ( ) X En ∴ χ μ − → →∞ fd n ∫ ，即 0 ( ) X E E n ∴ χ χμ − → →∞ d n ∫ 所以 ( ,) 0 ( ) 0 ρ EE E E n n →⇔ Δ → μ ． 即： R 按度量 ρ(, ) ( ) EF E F = Δ μ 作成一个完备度量空间． 引理 2：υ 是定义在 S 上的有限测度，且υ 对于 μ 是绝对连续的，则υ 在 R 上可 以无歧义地确定，且是 R 上的连续函数． 证明： 由于υ 对于μ 是绝对连续的，所以μ( )0 ( )0 EF EF Δ =⇒ Δ = υ 显然υ 在 R 上可以无歧义地确定，事实上由μ( ) E FΔ 的定义，只考虑在零点∅ 的连续性情形．