张景玲等：基于周期势系统随机共振的轴承故障诊断 .991· 1.2普通尺度变换 为评价指标5) 为实现普通尺度变换，引入变量， SNR =10logio s(D x(t)=2(T),T=mt (4) 、E 方程(4)中，z()表示变尺度后的系统响应，T表示 S(f)=Ix(k)12 变尺度后的时间变量，m表示时间尺度.将方程(4) 代入方程(3)中，方程(3)可以写成 E= 1∑(0X(k-)12+1X(k+i)12) 2M1 步=abin(be)+Asim(2m斤T）+n(品) (9) 其中，∫是特征信号实际频率，X(·)是信号对应的幅 n(品)=2Dm(r) 值谱，S()是特征信号实际频率处的功率，k是特征 信号实际频率对应的数字序列，M,是频率左右对称 (5) 的数据点数，E是噪声在频率附近k-M到k+M 其中，()表示均值为0，方差为1的高斯白噪声. 之间的平均功率，所以此处的信噪比更确切地说指 方程(5)可以整理为 的是局部信噪比.由于在计算信噪比时，数据的选 是-n()+点nm五)+严() 择需要对称，所以它的选择性较差.因此本文将改 dr m m 进的信噪比(ISNR)作为评价指标， ((r)=0,〈(r),(0)〉=8(r) s(f) (6) IsNR=10 logioW-S万 令只=4b=4,合=片=只=几则方程 S()=IX(k)12 (10) m 3 (6)可以写成如下形式： w ∑(0X()2) 能=-a,4s血（么）+4血(2时f)+2D)） 其中，M,表示特征信号频率附近不对称的数据点 数，W是特征信号频率附近i到M,这一段局部区域 〈(r)〉=0，〈(r),(0)〉=8(r) (7) 中特征信号与噪声的总功率，W-S()表示噪声在 从方程(7)中可知，普通尺度变换之后周期势系统 这一段局部区域的功率.i和M,可以在频率附近选 随机共振的结构参数为a1、b1,方程(7)即为方程 取，而且随着M2取值越来越大，ISNR的值不会有太 (3)的等价形式.传统的随机共振是通过改变噪声 大变化.因为经随机共振输出后，信号频率后的波 的强度来实现，而自适应随机共振是固定噪声强度 形幅值越来越小直到趋于零，也就是说特征频率后 并通过调节系统参数实现.系统参数的取值具有多 的功率也慢慢变小趋于零，这时对计算改进的信噪 样性，可以用优化算法来取得最优解.方程(3)可以 比的影响不大 用四阶龙格一库塔算法求解)，具体如下： 1.4优化算法 为了提高运算效率，可以用优化算法得到自适 =y+石+2，+2%，+1， 应随机共振系统的最优参数.本文中选用的是随机 j=0,1,2,…,L-1 权重粒子群优化算法（particle swarm optimization, k=h[-absin (by;)++nj] PS0)16-8].这种算法的具体步骤为： (1)设置初始化条件.确定学习因子、随机权 k=h{-absin【b(6+)门+与+n} 重的平均值、迭代次数、粒子数和空间维度等.一般 ks=h{-absin [( 将学习因子都设为2，随机权重平均值的最大值和 最小值分别取0.8和0.5，随机权重平均值的方差 ka=h-absin [b(y;+k3)]+++nj+ 取0.2，初始化群体个数为40，迭代步数为50次. (8) 这里是优化两个参数，所以空间维度设为2. 其中，s,是输入信号的第j个采样点，n,和y,分别为噪 (2)初始化群体中的个体粒子.这里随机初始 声和输出信号的第j个采样点.h是步长，f是采样 化粒子的位置和速度. 频率.L是输入信号的总数据点数 (3)计算每个粒子的适应度，并找出局部最优 1.3评价指标 和全局最优.这里的适应度是指具体的评价指标， 在自适应随机共振中，常采用信噪比(SNR)作 本文采用的是ISNR作为评价指标.张景玲等: 基于周期势系统随机共振的轴承故障诊断 1郾 2 普通尺度变换 为实现普通尺度变换,引入变量, x(t) = z(子), 子 = mt (4) 方程(4)中,z(子)表示变尺度后的系统响应,子 表示 变尺度后的时间变量,m 表示时间尺度. 将方程(4) 代入方程(3)中,方程(3)可以写成 m dz d子 = absin (bz) + Asin (2仔 f m 子 ) + n ( 子 ) m n ( 子 ) m = 2Dm孜(子 ì î í ï ï ï ï ) (5) 其中,孜(子)表示均值为 0,方差为 1 的高斯白噪声. 方程(5)可以整理为 dz d子 = - a m bsin (bz) + A m sin (2仔 f m 子 ) + 2D m 孜(子) 掖孜(子)业 = 0,掖孜(子),孜(0)业 = 啄(子 ì î í ïï ïï ) (6) 令 a m = a1 ,b = b1 , A m = A1 , f m = f 1 , D m = D1 ,则方程 (6)可以写成如下形式: dz d子 = - a1 b1 sin (b1 z) + A1 sin (2仔f 1 子) + 2D1 孜(子) 掖孜(子)业 = 0,掖孜(子),孜(0)业 = 啄(子 { ) (7) 从方程(7)中可知,普通尺度变换之后周期势系统 随机共振的结构参数为 a1 、b1 ,方程(7) 即为方程 (3)的等价形式. 传统的随机共振是通过改变噪声 的强度来实现,而自适应随机共振是固定噪声强度 并通过调节系统参数实现. 系统参数的取值具有多 样性,可以用优化算法来取得最优解. 方程(3)可以 用四阶龙格—库塔算法求解[14] ,具体如下: yj + 1 = yj + 1 6 [k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ], j = 0,1,2,…,L - 1 k1 = h[ - absin (byj) + sj + nj] k2 = h { - absin [ b ( yj + 1 2 k1 ) ] + sj + nj } k3 = h { - absin [ b ( yj + 1 2 k2 ) ] + sj + 1 + nj + 1 } k4 = h{ - absin [b(yj + k3 )] + sj + 1 + nj + 1 ì î í ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ïï } (8) 其中,sj是输入信号的第 j 个采样点,nj和 yj分别为噪 声和输出信号的第 j 个采样点. h 是步长,f s是采样 频率. L 是输入信号的总数据点数. 1郾 3 评价指标 在自适应随机共振中,常采用信噪比(SNR)作 为评价指标[15] , SNR = 10log10 ( S(f) ) E S(f) = | X(k) | 2 E = 1 2M1 移 M1 i = 1 (| X(k - i) | 2 + | X(k + i) | 2 ì î í ï ï ï ï ï ï ) (9) 其中,f 是特征信号实际频率,X(·)是信号对应的幅 值谱,S(f)是特征信号实际频率处的功率,k 是特征 信号实际频率对应的数字序列,M1是频率左右对称 的数据点数,E 是噪声在频率附近 k - M1 到 k + M1 之间的平均功率,所以此处的信噪比更确切地说指 的是局部信噪比. 由于在计算信噪比时,数据的选 择需要对称,所以它的选择性较差. 因此本文将改 进的信噪比(ISNR)作为评价指标, ISNR = 10log10 ( S(f) W - S(f ) ) S(f) = | X(k) | 2 W = 移 M2 i = 1 (| X(i) | 2 ì î í ï ïï ï ïï ) (10) 其中,M2表示特征信号频率附近不对称的数据点 数,W 是特征信号频率附近 i 到 M2这一段局部区域 中特征信号与噪声的总功率,W - S( f)表示噪声在 这一段局部区域的功率. i 和 M2可以在频率附近选 取,而且随着 M2取值越来越大,ISNR 的值不会有太 大变化. 因为经随机共振输出后,信号频率后的波 形幅值越来越小直到趋于零,也就是说特征频率后 的功率也慢慢变小趋于零,这时对计算改进的信噪 比的影响不大. 1郾 4 优化算法 为了提高运算效率,可以用优化算法得到自适 应随机共振系统的最优参数. 本文中选用的是随机 权重粒子群优化算法 ( particle swarm optimization, PSO) [16鄄鄄18] . 这种算法的具体步骤为: (1) 设置初始化条件. 确定学习因子、随机权 重的平均值、迭代次数、粒子数和空间维度等. 一般 将学习因子都设为 2,随机权重平均值的最大值和 最小值分别取 0郾 8 和 0郾 5,随机权重平均值的方差 取 0郾 2,初始化群体个数为 40,迭代步数为 50 次. 这里是优化两个参数,所以空间维度设为 2. (2) 初始化群体中的个体粒子. 这里随机初始 化粒子的位置和速度. (3) 计算每个粒子的适应度,并找出局部最优 和全局最优. 这里的适应度是指具体的评价指标, 本文采用的是 ISNR 作为评价指标. ·991·