这样的步骤一直做下去,便得到一个闭区间套{[an,bn]},f(x)在 其中任何一个闭区间anb上都是无界的。 根据闭区间套定理,存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[anb, 并且 m a 因为ξ∈[an,b,而f(x)在点ξ连续,所以存在δ>0,M>0,对于一切 x∈O(,δ)∩[an,b],成立 (x)≤M 由于lman=1mbn=5,又可知道对于充分大的n, n→) n1→) [anbn]cO(5,)∩a,b], 于是得到f(x)在这些闭区间[an,bn1(m充分大)上有界的结论,从而产生 矛盾 证毕这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套{[,] n n a b }， f x( ) 在 其中任何一个闭区间[,] n n a b 上都是无界的。 根据闭区间套定理，存在唯一的实数ξ 属于所有的闭区间[,] n n a b ， 并且 ξ =lim n→∞ an =lim n→∞ bn 。 因为ξ ∈ ba ],[ ，而 f x( ) 在点ξ 连续，所以存在δ > 0，M > 0，对于一切 x∈O ξ δ ),( ∩ ba ],[ ，成立 f ( ) x M≤ 。 由于lim n→∞ an =lim n→∞ bn =ξ ，又可知道对于充分大的n， [,] n n a b ⊂ O ξ δ ),( ∩ ba ],[ ， 于是得到 f x( ) 在这些闭区间[,] n n a b (n充分大)上有界的结论，从而产生 矛盾。 证毕