第二章单纯形法 如前所述，线性规划是运筹学的一个发展最早的重要分支，无论从理论、应用和计算 的角度， 线性规划仍然是最优化技术中发展得最好的一个分支，其发展与单纯形算法是分不 开的.至今为止，在1947年Dantzig提出的单纯形法算法仍是解线性规划问题的最有效的 算法随着计算机的运算速度和贮存能力的快速发展，用单纯形法可解有成干上万个约束 条件和决策变量的线性规划向题，从而使得线性规划的应用已逐渐扩展到工业、农业、交 通运输、军事和经济等各个领域 52.1线性规划问题的几何意义 在第一章第三节中介绍的图解法，已直观地说明了两个和三个变量线性规划问题的 可行域和最优解的几何意义：若两个或三个变量的线性规划问题的最优解存在，则一定可 在可行域的顶点得到，这一节我们把这一结论推广到一般的线性规划问题，并从理论上作 进 一步的讨论和说明。 一、线性规划问题的解 在进一步讨论之前，我们先介绍线性规划问题解的概念.本章如无特别说明，所讨论 的模型均为标准型： max 2=CX (2.1） 满足AX=b (2.2) x≥0 2.3) 可行解满足约束条件(12)，(13)的解X=(1，2，，工)T称为线性规划问题的可 行解所有可行解的集合叫做可行域 最优解使目标函数(1.1)达到最优的可行解叫做最优解 基本解和基本可行解 设矩阵A=【a]mxn的秩是m,其中n为决策变量数，m为约束条件方程的个数， n之m.令 乃=(a,a2,,am)T 为矩阵A的第jG=1,2,,n)列对应的列向量则AX=b可以写成： 且向量组B,乃，，Pn的极大线性无关组包含m个向量，不失一-般性，设B,P,,Pm 为其极大线性无关组，则方程组 P=b =1 1￾✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞ ✟✡✠✡☛✡☞, ✌✡✍✡✎✡✏✡✑✡✒✡✓✡✔✡✕✡✖✡✗✡✘✡✙✡✚✡✛✡✕✢✜✡✣✢✤✡✥, ✦✡✧✡★✡✩✡✧✡✪✬✫✡✭✡✮✡✯✡✰ ✕✡✱✡✲, ✌✢✍✢✎✢✏✢✳✢✴✢✑✢✚✢✵✢✶✢✷✢✸✺✹✻✘✢✙✢✼✢✚✢✽✢✕✢✖✢✗✢✤✢✥, ✾✢✘✢✙✢✿✢❀✢❁✢❂✢✰✢❃✢✑✢✤✢❄ ❅ ✕. ❆❈❇❈❉❈❊, ❋ 1947 ● Dantzig ❍❈■❈✕❈❀❈❁❈❂❈❃❈✰❈❃❈✳✡✑❈❏✡✌❈✍✡✎✡✏❈❑✡▲✡✕❈✚✡▼❈◆✡✕ ✰✡❃. ❖✡P✡✯✡✰✡◗✡✕✡✒✡✰✡❘✡✲✡✮✡❙✡❚✡❯✡❱✡✕✡❲✡❘✡✘✡✙, ✭✡❀✡❁✡❂✡❃✡❳✡❏✡▼✡❨✡❩✡❬✡❭✡✗✡❪✡❫ ❴✡❵✮✡❛✡❜✡❝✡❞✡✕✡✌✡✍✡✎✡✏✡❑✡▲, ★✡❡✡❢✡✼✡✌✡✍✡✎✡✏✡✕✡✫✡✭❤❣❥✐✡❦✡❧✡✙✡♠✡♥✡♦✡✪q♣✡♦✡✪qr s✒✡t✡✪✬✉✡✈✡✮✡✇✡①✡②✡③✡✗✡④✡⑤. §2.1 ⑥⑧⑦⑧⑨⑧⑩⑧❶⑧❷⑧❸⑧❹⑧❺⑧❻❽❼ ❋✢❾✢✖✢❿✢❾✢➀✢➁✺✹✻➂✢➃✢✕✢➄✢❏✢❃, ❣✻➅✢➆✢➇✢➈✺➉✻➊✢➋✢✗✢✮✢➀✢✗✢❝✢❞✢✌✢✍✢✎✢✏✢❑✢▲✢✕ ❳✡➌✡⑤✡✮✡✚✡✵✡❏✡✕✡➍✡➎✡➏✡➐: ➑✡➋✡✗✡➒✡➀✡✗✡❝✡❞✡✕✡✌✡✍✡✎✡✏✡❑✡▲✡✕✡✚✡✵✡❏✡❚✡❋, ➓✡✖✡➔✡❳ ❋✡❳✡➌✡⑤✡✕✡→✡➣✡✼✡♠. ↔✡✖✡➁✡↕✡➙✡➛✡↔✡✖✡➜✡✧✡➝✡➞✡♠✡✖✡➟✡✕✡✌✡✍✡✎✡✏✡❑✡▲, ➠✡★✡✩✡✧✡❬✡➡ ➢ ✖✡➤✡✕✡➥✡✧✡✮✡➈❤➉. ➦ ✪✬➧✡➨✡➩✡➫✡➭✡➯✡➲✡➳ ❋➢ ✖✡➤✡➥✡✧✡➵✠ , ↕✡➙✡➸✡➂✡➃✡✌✡✍✡✎✡✏✡❑✡▲✡❏✢✕✢➺✡➻. ➼✡❿✟✦✡➽✡➾✡➈❤➉, ☛ ➥✡✧ ✕✡➚✡➪✡➶✡❉✡➹✡➘✡➪: max z = CX (2.1) ➴✡➷ AX = b (2.2) X ≥ 0 (2.3) ➬✡➮➳:➴✡➷❪✡❫❴✡❵ (1.2),(1.3) ✕✡❏ X = (x1, x2, . . . , xn) T ➱❉✡✌✡✍✡✎✡✏✡❑✡▲✡✕ ➬ ➮ ➳. ☛ ▼✡❳✡➌✡❏✡✕✡✃✡❐❤❒❥❮ ➬✡➮✡❰. Ï✡Ð➳: ❢ÒÑÓ➹✡Ô✡Õ (1.1) Ö✡♠✡✚✡✵✡✕✡❳✡➌✡❏❤❒❥❮✡✚✡✵✡❏. ×✡Ø➳✡Ù×✡Ø➬✡➮➳: Ú✢Û✢Ü A = aij m×n ✕✢Ý✢✑ m, ✾✺✹ n ❉✢❛✢❜✢❝✢❞✢Õ, m ❉✢❪✢❫❴✢❵✢Þ✢ß✕✢✗✢Õ, n ≥ m. à Pj = ￾ a1j , a2j , . . . , amj
T ❉Û✡Ü A ✕✡❾ j(j = 1, 2, . . . , n) á✡â✡✫✡✕✡á❤ã❥❞. ➓ AX = b ❳✡ä✡å✡❨: Xn j=1 Pjxj = b æ ãç❞❈è P1, P2, . . . , Pn ✕❈é❈ê❈✌❈✍❈✦❈ë❈è❈ì❈í m ✗îãç❞❈ïð❄❈ñ❈✖❈➟❈✍❈ï Ú P1, P2, . . . , Pm ❉✡✾✡é✡ê✡✌✡✍✡✦✡ë✡è✡ï✬➓Þ✡ßè Xm j=1 Pjxj = b 1