习题13.2重积分的性质与计算 1.证明重积分的性质8。 证不妨设g(x)≥0,M、m分别是f(x)在区域Ω上的上确界、下确界, 由mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)、性质1和性质3,可得 mg(x)d≤f(x)g(x)d≤M|g(x)dl 当∫g(xd=0,积分中值定理显然成立。当s(xM≠0,则 f(x)g(x) g(x)dr 所以存在∈[m,M],使得 f(xg(x)dk x)di 即 ∫(x)g(x)=」g(xd 如果∫在有界闭区域Ω上连续,由介值定理,存在ξ∈Ω,使得 f()=4,所以 (x)(x)=/(5)s(x) 2.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小 (1)(x+y)do与∫(x+y)h,其中D为x轴,y轴与直线 +y=1所围的区域 (2)x+y)dd与∫mx+y)dd,其中D为闭矩形35×10 解(1)因为在D上成立0<x+y<1,所以(x+y)2>(x+y)3,于是 ‖(x+y)dd>‖(x+y)2dd (2)因为在D上成立x+y≥3,所以ln(x+y)<[n(x+y)2,于是 ∫j(x+y)tod<∫mx+y)】abh 3.用重积分的性质估计下列重积分的值: (1)x(x+yddy,其中D为闭矩形o× 100+cos- x+coS- y ,其中D为区域{(x,y)|xH+y≤10};习 题 13.2 重积分的性质与计算 1．证明重积分的性质 8。 证 不妨设 g(x) ≥ 0，M 、m分别是 f (x)在区域Ω上的上确界、下确界， 由 mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ Mg(x)、性质 1 和性质 3，可得 ∫ ∫ ∫ ， Ω Ω Ω m g(x)dV ≤ f (x)g(x)dV ≤ M g(x)dV 当 ( ) = 0，积分中值定理显然成立。当 ，则 ∫ Ω g x dV ( ) ≠ 0 ∫ Ω g x dV M g x dV f x g x dV m ≤ ≤ ∫ ∫ Ω Ω ( ) ( ) ( ) ， 所以存在µ ∈[m, M ]，使得 = µ ∫ ∫ Ω Ω g x dV f x g x dV ( ) ( ) ( ) ， 即 ∫ ∫ Ω Ω f (x)g(x)dV = µ g(x)dV 。 如果 f 在有界闭区域Ω 上连续，由介值定理，存在ξ ∈ Ω ，使得 f (ξ ) = µ ，所以 ∫ ∫ 。 Ω Ω f (x)g(x)dV = f (ξ ) g(x)dV 2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) ∫∫ + 与 ，其中 为 D x y dxdy 2 ( ) ∫∫ + D x y dxdy 3 ( ) D x 轴， y 轴与直线 x + y = 1所围的区域； (2) ∫∫ + 与 D ln(x y)dxdy [ ] ∫∫ + D x y dxdy 2 ln( ) ，其中D为闭矩形[ , 3 5] ×[0 1, ]。 解（1）因为在D上成立 0 < x + y < 1，所以 ，于是 2 3 (x + y) > (x + y) ∫∫ + D x y dxdy 2 ( ) ∫∫ > + D x y dxdy 3 ( ) 。 （2）因为在D上成立 x y + ≥ 3，所以 ，于是 2 ln(x + y) < [ln(x + y)] ∫∫ + D ln(x y)dxdy [ ] ∫∫ < + D x y dxdy 2 ln( ) 。 3．用重积分的性质估计下列重积分的值： (1) ∫∫ + ，其中 为闭矩形[ , D xy(x y)dxdy D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ∫∫ + + D x y dxdy 2 2 100 cos cos ，其中D为区域{(x y, )| | x|+| y|≤ 10}； 1