作为严格凸性的另一个应用,我们考虑线性泛函延拓的唯一性问 题.Hahn- Banach定理只解决了延拓的存在性,而一般来说,唯 性并不成立 例6在R2中定义范数 x,x2)=(x+12,H(x,x)∈R2 则G={(x,0)x∈R}是R2的线性子空间,(x,0)=x是G上的线 性泛函.由 容易知道JG|=1,故后连续 对于每个B∈R,F(x1,x2)=x+Bx2都是f的延拓并且 F(x1,x2)<*1+|< max(1, B)(x1+x2D = max 于是当/≤1时,F是保持范数的延拓,这种延拓的个数有不可数无 穷多个 这里我们给出一个保证线性泛函延拓唯一性的条件,而将其证明 略去 定理7设Y是线性赋范空间,为了使X的每个线性子空间上的 连续线性泛函都有唯一的保持范数的延拓,必须并且只须共轭空间X 是严格凸的7 作为严格凸性的另一个应用，我们考虑线性泛函延拓的唯一性问 题. Hahn－Banach 定理只解决了延拓的存在性，而一般来说，唯一 性并不成立. 例 6 在 2 R 中定义范数 ( ) 12 1 2 x , x xx = + ， 2 1 2 ∀ ∈ (, ) x x R 则 {( ) } 1 1 1 G x xR = ∈ ,0 ; 是 2 R 的线性子空间， f01 1 ( x x ,0) = 是 G 上的线 性泛函. 由 fx x x 01 1 1 ( ) ,0 ,0 = = ( ) ， 容易知道 0f =1，故 0f 连续. 对于每个 β ∈ R ， F ( xx x x 12 1 2 , ) = + β 都是 0f 的延拓并且 Fxx x x x x ( ) 12 1 2 1 2 , max 1, ≤+ ≤ + β β ( )( ) = max 1, , ( β ) ( x1 2 x ) . 于是当 β ≤1时， F 是保持范数的延拓，这种延拓的个数有不可数无 穷多个. 这里我们给出一个保证线性泛函延拓唯一性的条件，而将其证明 略去. 定理 7 设 X 是线性赋范空间，为了使 X 的每个线性子空间上的 连续线性泛函都有唯一的保持范数的延拓，必须并且只须共轭空间 X ∗ 是严格凸的