曲面形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 考虑到(×n)·t×∑=(×n)·(t×∑)以及内蕴形式的第二类广义 Stokes公式,可有 (t×∑)+H(tx∑)+fs×∑ t)×∑+g(txg)+(Hn:t)x∑+fs×∑-m 考虑到动量守恒微分方程,则得证 进一步,由表达式 g、tx9)=14gn+√0(-2+t9),g:=dt() 可有下述结论 推论1.1.1(关于曲面应力的表示).曲面应力张在切平面上的分量具有对称性(t=t) 其充分必要条件是法向面力偶分量为零(m3=0);曲面应力张量在法向具有非零分量(t3≠0) 其充分必要条件是面力偶在切平面具有非零分量(m≠0) 14能量守恒 可有能量守恒的积分表达式 /2("+)=层(2+*) 2+e do (×n)·tVdl+/.fx:vd qd+∮,(r×n)·(kr)·vd 利用内蕴形式第二类广义 Stokes公式,可得能量守恒微分方程 d / v (t·V)+f 另一方面,在动量方程两边作用·V,可得动能微分方程 d v 结合能量守恒微分方程和动能微分方程,可得内能微分方程: t)·V+q+口 t:(口∞v)+q+ 进一步,可将曲面应力分解为 t=(-pI t。代表介质内部黏性作用对应力的贡献,可称为黏性应力.藉此,内能方程具有形式 8V)+q+ 式中=VV4-HV3,t,:(百v)可称为耗散函数有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 考虑到 [(τ × n) · t] × Σ = (τ × n) · (t × Σ) 以及内蕴形式的第二类广义 Stokes 公式, 可有 ρa × Σ = Σ · (t × Σ) + Hn · (t × Σ) + f Σ × Σ − mΣ = [(Σ · t ) × Σ + g l · (t × gl ) ] + (Hn · t) × Σ + f Σ × Σ − mΣ = (Σ · t + f Σ ) × Σ + g l · (t × gl ) − mΣ. 考虑到动量守恒微分方程, 则得证. 进一步, 由表达式 g l · (t × gl ) = −t ij ϵij3nΣ + √ g(−t 2 ·3g 1 + t 1 ·3g 2 ), g := det ( gij) 可有下述结论. 推论 1.1.1 (关于曲面应力的表示). 曲面应力张在切平面上的分量具有对称性 (tij = tji), 其充分必要条件是法向面力偶分量为零 (m3 Σ = 0); 曲面应力张量在法向具有非零分量 (t i ·3 ̸= 0), 其充分必要条件是面力偶在切平面具有非零分量 (mi Σ ̸= 0). 1.4 能量守恒 可有能量守恒的积分表达式 d dt ∫ t Σ ρ ( |V | 2 2 + e ) dσ = ∫ t Σ ρ d dt ( |V | 2 2 + e ) dσ = ∮ ∂ t Σ (τ × n) · t · V dl + ∫ t Σ f Σ · V dσ + ∫ t Σ qdσ + ∮ ∂ t Σ (τ × n) · ( κ Σ T ) · V dl. 利用内蕴形式第二类广义 Stokes 公式, 可得能量守恒微分方程 ρ d dt ( |V | 2 2 + e ) = Σ · (t · V ) + f Σ · V + q + Σ · ( κ Σ T ) . 另一方面, 在动量方程两边作用 ·V , 可得动能微分方程 ρ dV dt · V = ρ d dt ( |V | 2 2 ) = (Σ · t ) · V + f Σ · V . 结合能量守恒微分方程和动能微分方程, 可得内能微分方程: ρ de dt = Σ · (t · V ) − (Σ · t ) · V + q + Σ · ( κ Σ T ) = t : (Σ ⊗ V ) + q + Σ · ( κ Σ T ) , 进一步, 可将曲面应力分解为 t = (γ − p)I + t∗, t∗ 代表介质内部黏性作用对应力的贡献, 可称为黏性应力. 藉此, 内能方程具有形式 ρ de dt = (γ − p)θ + t∗ : (Σ ⊗ V ) + q + Σ · ( κ Σ T ) : 式中 θ = ∇lV l − HV 3 , t∗ : (Σ ⊗ V ) 可称为耗散函数. 6