证明由性质3)有(t-t)=(t)中(-1)=(-t)心()=D(0)=1 根据逆矩阵的定义可得式(854)。根据()的这一性质，对于线性定常系统，显然有 x()=)x(0),x(0)=本'(0）x(0=-)x() 5)x2)=2-4)x4) (8-55) 证明由于x,)=)x0),x0)='G,)x4)=(-4)x4) 则 x42)=D2)x(0)=42)-4)x4)=D42-4)x4) 即由x()转移至x化，)的状态转移矩阵为化2一4)· 6)p2-16)=p(t2-1)p1-to) (8-56) 证明由x(2)=(2-6)x(a)和x(4)=-o)x() 得到x2)=2-1)x1)=2-41)④41-6)x=(42-6)x() 7)[D(0=(k0 (8.57) 证明[】=(e")=ew=eu=k 8)若AB=BA,则er=e"e=eme" (8-58 2e'-e e-ea7 例8-11己知状态转移矩阵为中()= 试求 -2e-+2e--e'+2e-2 Φ-1().A。 解根据状态转移矩阵的运算性质有 2e'-e2 中-(0=(-1)= e-e2 7 -2e+2e2r-e+2e2 A=(0)= -2e+2e--e+2e1「017 2e-4ee-4e-2 Jr=0 -2-3 8.23线性定常连续系统的受控运动 线性定常系统在控制作用下的运动称为线性定常系统的受控运动，其数学描述为非齐次 状态方程，即 ()=Ax()+Bu() (8-59 主要有如下两种解法： 1)积分法由式(8-59)，有 332 332 证明 由性质 3）有 (t − t) = (t)(−t) = (−t)(t) = (0) = I 根据逆矩阵的定义可得式(8-54)。根据 (t) 的这一性质，对于线性定常系统，显然有 1 x t t x x t x t t x t ( ) ( ) (0), (0) ( ) ( ) ( ) ( )    − = = = − 5） ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 x t =  t −t x t （8 - 5 5） 证明 由于 ( ) ( ) (0), (0) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 x t =  t x x =  t x t =  −t x t − 则 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 x t = t x = t  −t x t = t −t x t 即由 ( ) 1 x t 转移至 ( ) 2 x t 的状态转移矩阵为 ( ) 2 1  t −t 。 6 ） ( ) 2 0  t − t ＝ ( ) 2 1  t −t ( ) 1 0  t − t （ 8 - 5 6 ） 证明 由 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 x t =  t − t x t 和 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 x t =  t − t x t 得到 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 x t =  t −t x t ＝ ( ) 2 1  t −t ( ) 1 0  t − t ( ) 0 x t ＝ ( ) 2 0  t − t ( ) 0 x t 7） [ (t)] (kt) k  =  （8-57） 证明 [ ( )] ( ) ( ) ( ) t e e e kt k At k kAt A kt  ＝ = = = 8）若 AB = BA ，则 A B t At Bt Bt At e = e e = e e ( + ) （8-58） 例 8-11 已知状态转移矩阵为       − + − + − −  = − − − − − − − − t t t t t t t t e e e e e e e e t 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ，试求 (t), A −1  。 解 根据状态转移矩阵的运算性质有 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 (0) 2 4 4 2 3 t t t t t t t t t t t t t t t t t e e e e t t e e e e e e e e A e e e e − − − − − − − − − =   − −  =  − =     − + − +   − + − +   =  = =     − −   − −   8.2.3 线性定常连续系统的受控运动 线性定常系统在控制作用下的运动称为线性定常系统的受控运动，其数学描述为非齐次 状态方程，即 x (t) = Ax(t) + Bu(t) (8-59) 主要有如下两种解法： 1） 积分法 由式（8-59），有