2()=8/g(7)+g(7) g(0g(7)+07)+(4g(m)+2) 42g2(m)+22g(m)+n (6分) 根据 (m)=8g(m)+←(m7) =g(g-)m)+g-(m) 用归纳法不难证明,(m)一定可以表示成7,g(m),g2()…,g(m)的线性组合,且 表示式中g(m)前的系数为石 (8分) 因此,W在∫下也是不变的,∫在W上的限制在基刀,g(),g2(m)…,g"(n)下的 矩阵是上三角矩阵,且对角线元素都是,因而,这一限制的迹为m2…(10分) 由于/-gf=f在W上仍然成立,而/-8f的迹一定为零,故m=0,即 (12分 任取n∈W,由于f(7)=,爬(m)=gf(m)+f(m)=g(0)+f(m)=0,所以 g(n)∈W因此,W在g下是不变的从而,在W中存在g的特征向量,这也是f,g的 公共特征向量 (15分) 得分 四、(10分)设{(x)是定义在[ab]上的无穷次可微的函数序 评阅人 列且逐点收敛,并在[订上满足(x)≤M.(1)证明{(x) 在[a]上一致收敛;(2)设∫(x)=limf(x),问f(x)是否一定在[ab]上处处可导为什 ? 证明:(1)vE>0,将区间ak等分,分点为x2=a+0,j=02…k,使 得<6.由于(x)在有限个点(x,=012…、K上收敛,因此N,ym>n>N 使得|(x)-f(x)<6对每个j=02…K成立 (3分) 于是wx∈[a6],设x∈[x,x1,则 m(x)-f(x)sn(x)-m(x)+/(x)-f(x)+(x)-f() 第4页(共6页)第 4 页（ 共 6 页） 2 0 00 0 2 0 00 .............................(6 () () () ( () ) ( () ) () 2 () fg gfg fg gg g g g η ηη λ η λη λ η λη λ η λ η λη = + = + + + = + + 分） 根据 1 1 1 1 () () () ( )( ) ( ) kk k k k fg gfg fg g fg fg η ηη η η − − − − = + = + 用归纳法不难证明， ( ) k fg η 一定可以表示成 2 , ( ), ( ), , ( ) k η gg g ηη η " 的线性组合，且 表示式中 ( ) k g η 前的系数为λ0 . …………………………………. （8分) 因此，Wm在 f 下也是不变的， f 在Wm上的限制在基 2 1 , ( ), ( ), , ( ) m η gg g ηη η " − 下的 矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是λ0 ，因而，这一限制的迹为mλ0 . …..（10 分) 由于 fg gf f − = 在Wm 上仍然成立，而 fg gf − 的迹一定为零，故 0 mλ = 0 ，即 λ0 =0. ………………………….. （12 分) 任取η ∈W ，由于 f ( ) η = θ ， fg gf f g f () () () () () η = η η θ ηθ +=+= ，所以， g W ( ) η ∈ .因此，W 在 g 下是不变的.从而，在W 中存在 g 的特征向量，这也是 f , g 的 公共特征向量. ………………………………. （15 分) 四、（10 分）设{ fn ( ) x }是定义在[a b, ]上的无穷次可微的函数序 列且逐点收敛，并在[a b, ]上满足 '( ) nf x M≤ .（1）证明{ fn ( ) x } 在[a b, ]上一致收敛；（2）设 ( ) lim ( ) n n f x fx →∞ = ，问 f ( ) x 是否一定在[a b, ]上处处可导,为什 么？ 证明：（1）∀ > ε 0 ，将区间[a b, ] K 等分，分点为 ( ), 0,1,2, , j jb a x a jK K − =+ = " ，使 得 b a K ε − < . 由于{ fn ( ) x }在有限个点{ }, 0,1,2, , j x j K = " 上收敛，因此∃N ，∀>> mnN ， 使得 () () mj nj f x fx − < ε 对每个 j = 0,1,2, , " K 成立. ………………………….. （3 分) 于是∀ ∈x [,] a b ，设 1 [, ] j j x x x ∈ + ，则 () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () m n m mj mj nj nj n f x fx f x f x f x fx fx fx −≤ − + − + − ， 得 分 评阅人