第12讲Hahn- Banach延拓定理 教学目的 掌握线性泛函延拓定理的证明思想及其推论, 授课要点 1、实空间线性泛函的控制延拓定理。 2、复空间线性泛函的控制延拓定理 保范延拓定理。 4 延拓定理的推论及其意义。 对于一个线性赋范空间来说,对它上面的线性泛函知道得越多, 对这个空间本身就了解得越多(参见第9讲思考题1).有时候为了 某种目的,要求有满足一定条件的线性泛函存在,Hahn- Banach定理 为这样的线性泛函的存在提供了保证 定义1设D(T)与D(T)分别是算子T与T的定义域,若 D(T<D(7),并且Tx=x,Wx∈D(),则称算子T是T的延拓 定义2线性空间X上的实泛函p(x)称为是次可加的,若 P(x+y)≤P(x)+P(y),xy∈X 称为是正齐性的,若 P(ax)=ap(x),Vx∈x,a≥0 显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函 定理1(Hahn- Banach)设X是实线性空间,p:X→R是X 上的正齐性次可加泛函,McX是线性子空间,则 (1)对于M上定义的每个线性泛函f,存在f从M到X的延1 第 12 讲 Hahn－Banach 延拓定理 教学目的 掌握线性泛函延拓定理的证明思想及其推论。 授课要点 1、 实空间线性泛函的控制延拓定理。 2、 复空间线性泛函的控制延拓定理。 3、 保范延拓定理。 4、 延拓定理的推论及其意义。 对于一个线性赋范空间来说，对它上面的线性泛函知道得越多， 对这个空间本身就了解得越多（参见第 9 讲思考题 1）. 有时候为了 某种目的，要求有满足一定条件的线性泛函存在，Hahn－Banach 定理 为这样的线性泛函的存在提供了保证. 定 义 1 设 D T( ) 与 D T( 1 ) 分别是算子 T 与 T1 的定义域，若 DT DT ( ) ⊂ ( 1 ) ，并且 1 T x Tx = , ∀ ∈x D T( ) ，则称算子 T1是 T 的延拓. 定义 2 线性空间 X 上的实泛函 p ( x)称为是次可加的，若 p ( ) x y px py +≤ + ( ) ( ) ， ∀x, y X ∈ 称为是正齐性的，若 p ( ) α α x px = ( ) ， ∀x∈ X ， α ≥ 0 . 显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函. 定理 1（Hahn－Banach） 设 X 是实线性空间， p : X R → 是 X 上的正齐性次可加泛函， M ⊂ X 是线性子空间，则 （1）对于 M 上定义的每个线性泛函 0f ，存在 0f 从 M 到 X 的延