事四章大数定律与中心极限定理 4.1大数定理 在本课程一开始引入概率这个概念时，我们曾经指出，频率是概率的反映，随着观察沙 数的增大，频率将会逐渐稳定到概*。还曾经指出，当■很大时，频率会概率是会非常 “靠近”的，某些读者可能早就有了疑问：这里说的“逐渐稳定”和非常“靠近”究竞是什 么意思？与数学分析中的极限概念有关系吗？这个问题提得非常好，前面提到的“逐渐稳定” 和非常“靠 ”都只是一种直观的说法，它的严格的数学家意义确实需要我们进一步阐明 本章就是要讨论这一类问题。 若事件A在一次试验中发生的概率为p,如果观察了次这样的试验（也就是一个 重贝努里试验)，事件A共发生了n次，则事件A在n次观察中的频率为4n/n,当n增 大时频率逐渐稳定到（或“靠近”）概率，是否就是数学分析中的极限？也就是是否有 limp 成立呢？如果是这样，为什么不说“频率以概率为极限”，岂不干脆利落！但是读者应该觉 察到，上述这种极限关系是不成立的，因为这个极限关系意味者，对任给的￡>0，存在充 分大的整数N,使对一切n>N都有 (4.1) 成立。而我们知道，频率4./加是随着试验结果而变的，在n重贝努里试验中，下面的试验 结果 A,A,…,A(n个A出现) 还是可能发生的，当出现这样的结果时，。=n,于是4/n=l,从而当6很小时(0K6<1-p, 不论N多大，也不能得到当nN时，都有 怡-<8 成立，所以形如（41)极限关系并不成立。但是当n很大时事件（台-小发生的可能 性是很小的。例如上述的4=n, 即（=发生的可能性为 P告-队m -P在n次独立试验中A出现n次” 显然，当→∞时这个概率趋向于零。所以，频率“靠近”概奉不是意味者极限关系式(41)， 第四章 大数定律与中心极限定理 §4.1 大数定理 在本课程一开始引入概率这个概念时，我们曾经指出，频率是概率的反映，随着观察次 数 n 的增大，频率将会逐渐稳定到概率。还曾经指出，当 n 很大时，频率会概率是会非常 “靠近”的，某些读者可能早就有了疑问：这里说的“逐渐稳定”和非常“靠近”究竟是什 么意思？与数学分析中的极限概念有关系吗？这个问题提得非常好，前面提到的“逐渐稳定” 和非常“靠近”都只是一种直观的说法，它的严格的数学家意义确实需要我们进一步阐明， 本章就是要讨论这一类问题。 若事件 A 在一次试验中发生的概率为 p，如果观察了 n 次这样的试验（也就是一个 n 重贝努里试验），事件 A 共发生了 n 次，则事件 A 在 n 次观察中的频率为 n  n ，当 n 增 大时频率逐渐稳定到（或“靠近”）概率，是否就是数学分析中的极限？也就是是否有 lim n→ n n =p 成立呢？如果是这样，为什么不说“频率以概率为极限”，岂不干脆利落！但是读者应该觉 察到，上述这种极限关系是不成立的，因为这个极限关系意味着，对任给的   0 ，存在充 分大的整数 N，使对一切 n>N 都有 − p  n  n  （4.1） 成立。而我们知道，频率  n n 是随着试验结果而变的，在 n 重贝努里试验中，下面的试验 结果： A，A，…，A （n 个 A 出现） 还是可能发生的，当出现这样的结果时， n =n，于是  n n =1，从而当  很小时（0<  <1-p）， 不论 N 多大，也不能得到当 n>N 时，都有 p n n −  <  成立，所以形如（4.1）极限关系并不成立。但是当 n 很大时，事件         − p n  n 发生的可能 性是很小的。例如上述的 n =n，即       = 1 n  n 发生的可能性为 P       = 1 n  n =P( n =n) =P(在 n 次独立试验中 A 出现 n 次)=p n 显然，当 n → 时这个概率趋向于零。所以，频率“靠近”概率不是意味着极限关系式（4.1)