运城学院应用数学系2016-2017学年第一学期期末考试抽象代数B 一、填空题（每空3分，共30分) 1、已知群G中的元素a的阶等于6，则a’的阶等于2。 2、29阶群有2个正规子群。 3、设H是群G的子群，且G有右陪集系{H,aH,bH,cH,dH}。如果H的阶 为6，那么G的阶为30。 4、5元对称群S5中有60个偶置换。 5、规定实数集R上的运算×为a×b=3ab+1(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足交换率。 6、H是群G的正规子群，在商群么中a的逆元为aH一。 7、在同构的意义下，有2个4阶群。 8、10阶循环群有1个2阶子群。 9、设p是群G到群G的同态映射，a∈G,p(a)=a,那么p(a)=a一。 l0、设a、b、c和x都是群G中的元素，且x2a=bxc,acx=xac,那么x= be"a1 二、简答题（每小题10分，共40分） ll、证明对有限交换群G中任意两个元素a、b总有labl≤adb。 证明：设a=m,bl=n,则a"=e,b”=e。由于G是交换群，所以 (ab)mn=amnbmn=(am)"(b)m-e 从而ab≤mn,，即abl≤abl。.10分 123456 12、设两个6次置换o= 213645823456 425613 ,求otl。 2345 6 52 6 13 4 5分 ?346=23456) 5八526134厂(415236 5分 l3、设G是群，H是G的子群，a∈G,证明aHa是G的子群。 证明：对任意的s,t∈aHa,存在h,k∈H,使得s=aha,t=aka。.3分 又st=(aha(aka=ahaaka=ahka=a(hk")a,由hkl∈H得 st∈aHa。.6分 所以aHa是G的子群。1分 14、己知G={(a,b)a,b∈R,a≠0}关于乘法：(a,b)(c,d)=(ac,ad+b)是群， K={(,bbeR,R*为非零实数关于普通乘法做成的群。证明：G火=R。运城学院应用数学系 2016-2017 学年第一学期期末考试抽象代数 B 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 6，则 a 9 的阶等于 2 。 2、29 阶群有 2 个正规子群。 3、设 H 是群 G 的子群，且 G 有右陪集系{H，aH，bH，cH，dH }。如果 H 的阶 为 6，那么 G 的阶为 30 。 4、5 元对称群 S5 中有 60 个偶置换。 5、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=3ab+1(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 交换率 。 6、H 是群 G 的正规子群，在商群 G H 中 aH 的逆元为 a -1H 。 7、在同构的意义下，有 2 个 4 阶群。 8、10 阶循环群有 1 个 2 阶子群。 9、设 φ 是群 G 到群 G 的同态映射，a∈G，( ) a a  ，那么 1 ( ) a  = 1 a  。 10、设 a、b、c 和 x 都是群 G 中的元素，且 x 2 a = bxc-1，acx = xac，那么 x = bc-1 a -1 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、证明对有限交换群 G 中任意两个元素 a、b 总有 ab a b  。 证明：设 a m b n   , ，则 a m =e，b n =e。由于 G 是交换群，所以 (ab)mn=amnb mn=(am ) n (bn ) m =e 从而 ab mn  ，即 ab a b  。……10 分 12、设两个 6 次置换 1 2 3 4 5 6 2 1 3 6 4 5         ， 1 2 3 4 5 6 4 2 5 6 1 3         ，求 1   。 解： 1 1 2 3 4 5 6 5 2 6 1 3 4          ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 1 3 6 4 5 5 2 6 1 3 4 4 1 5 2 3 6                      。......5 分 13、设 G 是群，H 是 G 的子群，a∈G，证明 aHa-1 是 G 的子群。 证明：对任意的 s, t∈aHa-1，存在 h, k∈H，使得 s = aha-1，t = aka-1。......3 分 又 st-1 = (aha-1 )(aka-1 ) -1 = aha-1 ak-1 a -1 = ahk-1 a -1 = a(hk-1 )a-1，由 hk-1∈H 得 st-1∈aHa-1。......6 分 所以 aHa-1 是 G 的子群。......1 分 14、已知 G a b a b R a    {( , ) , , 0} 关于乘法：(a, b)(c, d) = (ac, ad + b)是群， K b b R   {(1, ) }，R*为非零实数关于普通乘法做成的群。证明： G * R K 