第二十二讲柱函数 第5页 a"(=-x+(a 满足递推关系 drC()=x"C-1(x), d x-"C(x)=-rC+1(x) 的函数{C(x)}统称为柱函数.可以证明:柱函数一定是Bess方程的解 Bessel函数是第一类柱函数, Neumann函数是第二类柱函数 Bessel函数递推关系的应用之一,是计算含Bese函数的积分.主要用于被积函数为幂函数 与Beel函数的乘积的情形. 例22计算积分/(1-x2)J(x)dx,其中J()=0 解利用递推关系 aJ,(a=zJv-1(a 分部积分,有 (1-x2)Jo(x)zdx=/(1-2) 1 d udr zj1(ux)l x1(x)+ J1(ur)da J2(px)=二2() 再令递推关系 J-1(x)+J2+1(x)=二J,(x) 中v=1, Jo(x)+J2(x)==J1(x), 并考虑到Jo(μ)=0,就有 J2()=-J1() 代入即得 (1-x2)J(x)rdx=-J1()Wu Chong-shi ➠➡➢➡➤ ➥ r s (➦) ✉ 5 ✈ d dx x −νNν(x) = −x −νNν+1(x). ✠✡➇ ➁❳➈ d dx [x νCν(x)] = x νCν−1(x), d dx x −νCν (x) = −x −νCν+1(x) ❚❻❘ {Cν(x)} ☛☞❞✌❻❘✫❜➀✃ ❐❊✌❻❘❴❤ ❍ Bessel ❃❄❚❨✫ Bessel ❻❘❍❫❴➑✌❻❘✖ Neumann ❻❘❍❫❛➑✌❻❘✫ Bessel ❻❘➇ ➁❳➈❚➋➌✍❴✖❍➎➏✎ Bessel ❻❘❚➓➔✫✏➼➌ñ →➣↔↕➙✑↔↕ ➜ Bessel ↔↕➝➞➣ ❚✒ ⑩✫ ➧ 22.2 ➎➏➓➔ Z 1 0 ￾ 1−x 2
J0(µx) x dx ✖➃ ♦ J0(µ)= 0 ✫ ➨ ✓➌➇ ➁❳➈ d dx [x ν Jν(x)] = x ν Jν−1(x). ➔✔➓➔✖❅ Z 1 0 ￾ 1 − x 2
J0(µx) x dx = Z 1 0 ￾ 1 − x 2
1 µ d dx [xJ1(µx)] dx = ￾ 1 − x 2
1 µ [xJ1(µx)]    1 0 + 2 µ Z 1 0 x 2 J1(µx)dx = 2 µ2 x 2 J2(µx)    1 0 = 2 µ2 J2(µ). ✕ ✄ ➇ ➁❳➈ Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2ν x Jν(x) ♦ ν = 1 ✖ J0(x) + J2(x) = 2 x J1(x), ❡✖✗ü J0(µ) = 0 ✖➹❅ J2(µ) = 2 µ J1(µ). ➩➫✘ û Z 1 0 ￾ 1 − x 2
J0(µx) x dx = 4 µ3 J1(µ).