的方向导数不存在,事实上 lim /(ecos, psin 0)-/(0,0) m 不存在 6 34例:设f(x,y) 0.xy=0·则90)=900)=0,但 1,xy≠0 f(ecos 8, psin 0)-f(0, 0) ≠ 1不存在 Taylor公式 aylor公式的几种形式 若函数∫(x,y)在P(x,y)点的某领域内有直到n+1阶连续偏导数,则 (D)/(x, y)=f(o+Ax, yo+Ay)=2M(Ax+Ay m)'(xo, yo)+R 其中Rn (n+1)! xdf(xn+Br,y+的Ay) +△v (2)为方便,记h=Ax,k=△y,则 f(, y)=f(xo +h,yo +k)=2I(h+ko)'f(o, yo)+R 其中 R 0+k2)/(x+m,y30+(k) (n+l(h-+k (3)(xy)=(x+△x0+Ay)=∑/(x,)+R 其中Rn d"f(xo +BAr, yo+BAy (n+1) 这是用微分表示的 Taylor公式,它与一元函数的 Taylor公式在形式上更为接近,由此也可以看到 元函数中fm(x)在二元函数的对应物是d"(x,y) 例1设函数∫(x,y)有直到n阶连续偏导数,试证u(t)=∫(a+ht,b+kD)的n阶导数 l"(1)=(h+k)”f(a+ht,b+k)10 的方向导数不存在，事实上 1/ 6 0 0 1 lim ( cos , sin ) (0,0) lim       → → = f − f 不存在。 3  4 例： 设    =  = 0, 0 1, 0 ( , ) xy xy f x y ，则 0 (0,0) (0,0) =   =   y f x f ，但 2 3 , , 2 0,      时，         1 lim ( cos , sin ) (0,0) lim →0 →0 = f − f 不存在。 §5 Taylor 公式 Taylor 公式的几种形式 若函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 0 P x y 点的某领域内有直到 n +1 阶连续偏导数，则 （1） n k n k f x y R y y x x k f x y f x x y y +   +    = +  +  =   = ( ) ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( ) ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x x y y y y x x n R n n +  +    +     + = +   （2）为方便，记 h = x, k = y ，则 n k n k f x y R y k x h k f x y f x h y k +   +   = + + = = ( ) ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( ) ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x h y k y k x h n R n n + +   +   + = + （3） n k n k d f x y R k f x y = f x + x y + y =  + = ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 d f x x y y n R n n +  +  + = +   这是用微分表示的 Taylor 公式，它与一元函数的 Taylor 公式在形式上更为接近，由此也可以看到 一元函数中 ( ) ( ) f x n 在二元函数的对应物是 ( , ) ( ) df x y n 。 例 1 设函数 f (x, y) 有直到 n 阶连续偏导数，试证 u(t) = f (a + ht,b + kt) 的 n 阶导数 ( ) ( ) ( , ) ( ) f a ht b kt y k x u t h n n + +   +   =