第三十一章变分法初步 311泛函的概念 ·泛函,简单地说,就是以整个函数为自变量的函数.这个概念,可以看成是函数概念的推广 ·所谓函数,是指给定自变量x(定义在某区间内)的任一数值,就有一个y与之对应.y称为 x的函数,记为y=f(x) ·设在x,y平面上有一簇曲线y(x),其长度 VI+ydx 显然,y(x)不同,L也不同,即L的数值依赖于整个函数y(x)而改变.L和函数y(x)之间 的这种依赖关系,称为泛函关系 类似的例子还可以举出许多.例如,闭合曲线围成的面积,平面曲线绕固定轴而生 成的旋转体体积或表面积,等等.它们也都定了各自的泛函关糸 ·设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x),有另一个数J与之对应,则称Jy为y(x) 的泛函 这里的函数集合,即泛函的定义域,通常包含要求y(x)满足一定的边界条件,并且具有连续 的二阶导数.这样的y(x)称为可取函数 泛函是函数概念的推广·对于后者,给定一个x值,有一个函数值与之对应 对于前者,则必须给出某一区间上的函数y(x),才能得到一个泛函值J (定义在同一区间上的)函数不同,泛函值当然不同 为了强调泛函值J与函数(x)之间的依赖关糸,常常又把函数y(x)称为变量函数 泛函的形式可以是多种多样的,但是,在本书中我们只限于用积分 ly F(a, y, y)dr 定义的泛函,其中的F是它的宗量的已知函数,具有连续的二阶偏导数 如果变量函数是二元函数u(x,y),则泛函为 J F(a, y, u, ur, uy)drdy,Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ ✟ ✠ ✡ 1 ☛ ☞✌✍✎✏ ✑ ✒ ✓ ✔ ✕ §31.1 ✖ ✗ ✘ ✙ ✚ • ✛✜✢✣✤✥✦✢ ✧★✩✪✫✜✬✭ ✮ ✯✰✱✜✬✲✳✫✴✵✢ ✶✩✷✸★✜✬✴✵✱✹✺✲ • ✻✼✜✬✢★✽✾✿ ✮ ✯✰ x(✿❀❁❂❃❄ ❅) ✱❆❇✬❈✢✧❉❇✫ y ❊❋●❍✲ y ■✭ x ✱ ✜✬✢❏✭ y = f(x) ✲ • ❑ ❁ x, y ▲▼◆❉❇❖ P◗ y(x) ✢❘❙❚ L = Z C ds = Z x1 x0 q 1 + y 02 dx. ❯❱✢ y(x) ❲❳✢ L ❨❲❳✢❩ L ✱ ✬❈❬❭❪✪✫✜✬ y(x) ❫❴✯ ✲ L ❵✜✬ y(x) ❋ ❄ ✱✳❛❬❭❜❝✢■✭✛✜❜❝✲ ❞❡❢❣❤✐❥ ❦❧ ♠♥ ♦✲ ❣♣✢qr st ✉✈❢ ✇①✢ ② ✇ st③ ④⑤⑥⑦⑧ ✈ ❢⑨⑩❶❶①❷❸ ✇①✢❹❹✲❺❻❼❽⑤ ❾ ❿ ➀❢➁➂ ➃➄✲ • ❑●❪ (❂❇✜✬➅➆ ❅✱ ) ❆➇❇✫✜✬ y(x) ✢ ❉➈❇✫✬ J[y] ❊❋●❍✢➉ ■ J[y] ✭ y(x) ✱ ✛✜✲ ✳➊✱✜✬➅➆✢❩ ✛✜✱✿❀➋✢ ➌➍➎➏➐➑ y(x) ➒➓❇✿✱➔→➣↔✢ ↕➙➛❉➜➝ ✱➞➟➠✬✲✳➡✱ y(x) ■✭✶➢✜✬✲ ➤➥➦➥➧➨➩➫➭➯ ✲➲➳➵➸✢➺⑤➻➼ x ➽✢➾➻➼➂➚➽➪➶➲➹➘ ➲➳➴➸✢➷➬➮➺ ♠➱➻ ✃❐❒❢➂➚ y(x) ✢❮❰ÏÐ➻➼➁➂➽ J[y] ✲ (⑤ÑÒ Ó➻ ✃❐❒❢ ) ➂➚Ô Ó✢➁➂➽ ÕÖÔ Ó✲ × ❾ ØÙ➁➂➽ J[y] ➪ ➂➚ y(x) ➶ ❐❢ÚÛ ➃➄✢ ÜÜÝÞ➂➚ y(x) ß ×àá➂➚✲ ✛✜✱âã✶✩★ä❛ä➡✱✢å★ ✢ ❁æç èéêëì❪íîï J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y0 ) dx ✿❀✱✛✜✢❘ è✱ F ★ð✱ñ✰✱ òó✜✬✢➛❉➜➝✱➞➟ô➠✬✲ õö✯✰✜✬★➞÷✜✬ u(x, y) ✢ ➉ ✛✜✭ J[u] = ZZ S F (x, y, u, ux, uy) dxdy