定理2:设q:R1→R二次连续可微。考虑由映射4(4)=2-9()定义的 Newton算法,设 q"() λ使得o(4)=0和"()≠0,设开始点A充分接近,因而存在k2k2>0,kk2<1,使得对 满足2一2<12-7的每一个 o(a) (4)-(4)-g(4(2 ≤k, 则算法收敛于A。 (2)之分子相当于o()与其在点的 Taylor一阶展开之差,因此只有,充分接近,才能保证k 足够小,使kk2<1。 ②用二次函数g(x)来近似替代φ(x):选择三点x1<x”<x2,满足两头大,中间小 (x2)>o(x),p(x3)<9(x2),过(x,(x),(x,o(x),(x2,(x2)做二次函数g(x),令 g(x)=0,解得极小点x3,去掉x或x2,对余下的三点(仍须满足两头大,中间小)重复以上步 骤,直到满足精度为止,这种方法称为抛物线法,其收敛阶为1.618 ③用q(x)在两点a及b的函数值g(a),φ(b)及导数值p'(a),(b)(q(a)与φ(b)异号) 做三次函数g(x),使g(a)=p(a),g(b)=q(b),g'(a)=p(a),g'(b)=q(b),试图用g(x)的 极小值点近似o(x)的极小值点。若(x)<E,终止:否则,用x替换a或b中导数与之同号者, 继续迭代。这种方法称为三次样条插值法。一般来说比抛物线法敛速快。 ④对分法:要求φ'(x)连续,φ(a)'(b)<0,计算φ'(一),去掉φ(a),q(b)中与之同号 若(x)为伪凸函数即可采用上述方法。因为伪凸:1,若(4)=0,由伪凸性入是极小点。2, 若φ()>0,当A>→0(4)≥(),→去掉(λb]。3,若φ(λ)<0,当 <入→0(4)20(1),→[ak,A)。此外,次数n必须满足G)”≤,,l为最后区间的长度 2°、不用导数的方法,如“成功—一失败”法、分数法、0.618法等。 ①“成功一一失败”法:假定已确定初始点x°和初始步长λ>0,若o(x°+1)<q(x”),则称175 定理 2：设 1 1  : R → R 二次连续可微。考虑由映射 ( ) ( ) ( ) A        = −  定义的 Newton 算法，设  使得  ( ) 0 = 和   ( ) 0  ，设开始点 1 充分接近  ，因而存在 1 2 k k, 0  ，k k1 2 1 ，使得对 满足     −  −1 的每一个  ，有： （1） 1 1 ( ) k     ， （2） 2 ( ) ( ) ( )( ) k              − − −  − 则算法收敛于  。 (2)之分子相当于  ( ) 与其在  点的 Taylor 一阶展开之差，因此只有 1 充分接近  ，才能保证 2 k 足够小，使 k k1 2 1。 ②用二次函数 g x( ) 来近似替代 ( ) x ：选择三点 1 0 2 x x x   ，满足两头大，中间小： 1 0   ( ) ( ) x x  ， 0 2   ( ) ( ) x x  ，过 1 1 ( , ( )) x x  ， 0 0 ( , ( )) x x  ， 2 2 ( , ( )) x x  做二次函数 g x( ) ，令 g x ( ) 0 = ，解得极小点 3 x ，去掉 1 x 或 2 x ，对余下的三点（仍须满足两头大，中间小）重复以上步 骤，直到满足精度为止，这种方法称为抛物线法，其收敛阶为 1.618。 ③用 ( ) x 在两点 a 及 b 的函数值 ( ) a ，( ) b 及导数值 ( ) a ，( ) b （ ( ) a 与 ( ) b 异号） 做三次函数 g x( ) ，使 g a a ( ) ( ) = ，g b b ( ) ( ) =  ，g a a   ( ) ( ) = ，g b b   ( ) ( ) = ，试图用 g x( ) 的 极小值点 x 近似 ( ) x 的极小值点。若   ( ) x  ，终止；否则，用 x 替换 a 或 b 中导数与之同号者， 继续迭代。这种方法称为三次样条插值法。一般来说比抛物线法敛速快。 ④对分法：要求 ( ) x 连续，     ( ) ( ) 0 a b  ，计算 ( ) 2 a b  +  ，去掉 ( ) a ，( ) b 中与之同号 者。 若 ( ) x 为伪凸函数即可采用上述方法。因为伪凸：1，若  ( ) 0 k  = ，由伪凸性 k 是极小点。2， 若  ( ) 0 k   ， 当 ( ) ( )          k k ， , (  去掉 k bk] 。 3 ， 若  ( ) 0 k   ， 当 ( ) ( )          k k ， [ , )  ak k 。此外,次数 n 必须满足 l b a l n ) , 2 1 ( −  为最后区间的长度. 2°、不用导数的方法，如“成功——失败”法、分数法、0.618 法等。 ①“成功——失败”法：假定已确定初始点 0 x 和初始步长   0 ，若 0 0    ( ) ( ) x x +  ，则称