第四章平方逼近 教学目的及要求: 掌握最小二乘法、初步掌握平方逼近及直交多项式、平方度量意义下函数的逼近 问题。 本书第二章是用数量 lp-f=maxp(x)-f(x) 来度量逼近多项式p(x)与已知函数f(x)的近似程度。若 pn(x)-f(x)→>0,n→>则意味着序列{pn(x)在区间[ab]上一致收敛到f(x)。 致逼近度量,亦称 Tchebyshev度量是很重要的一类度量标准。然而由于它的 非线性特性,使得最佳一致逼近多项式的构造问题十分困难。 对于许多问题来讲,人们需要求出的是在确定意义下的“整体”近似。本章 讨论一类新的度量-平方度量意义下函数的逼近问题。先从最小二乘法谈起。 §1.最小二乘法 最小二乘法起源于以测量和观测为基础的天文学。Gaus在1794年利用最小 乘法解决了多余观测问题,当时他只有十七岁。可以用下面的简单例子描述这 类问题 假定通过观测或实验得到如下一组数据(即列表函数): k 2 4 5 6 0 2 5 7 14 13 41.11.3 18 623第四章 平方逼近 教学目的及要求： 掌握最小二乘法、初步掌握平方逼近及直交多项式、平方度量意义下函数的逼近 问题。 本书第二章是用数量 p f max p(x) f (x) a x b − = −   来 度 量 逼 近 多 项 式 p(x) 与已知函数 f (x) 的 近 似 程 度 。 若 p (x) − f (x) → 0,n → , n 则意味着序列 pn (x) 在区间 [a,b] 上一致收敛到 f (x) 。 一致逼近度量，亦称 Tchebyshev 度量是很重要的一类度量标准。然而由于它的 非线性特性，使得最佳一致逼近多项式的构造问题十分困难。 对于许多问题来讲，人们需要求出的是在确定意义下的“整体”近似。本章 讨论一类新的度量----平方度量意义下函数的逼近问题。先从最小二乘法谈起。 §1. 最小二乘法 最小二乘法起源于以测量和观测为基础的天文学。Gauss 在 1794 年利用最小 二乘法解决了多余观测问题，当时他只有十七岁。可以用下面的简单例子描述这 类问题。 假定通过观测或实验得到如下一组数据（即列表函数）： k 1 2 3 4 5 6 7 8 k x 0 1 2 3 4 5 6 7 k y 1.4 1.3 1.4 1.1 1.3 1.8 1.6 2.3