的x∈X使得f(x)=y.因此我们可以定义一个到X的映射g如下:对每个y∈Y, 令g()=x,其中x是X中的唯一存在的满足f(x)=y的元.称这样定义的映射g为 f的逆映射,记为∫-1.显然逆映射是反函数概念的推广.若f是X到Y的一一的到上 的映射,则由逆映射的定义知道成立以下等式 f-(f(x)=x,x∈X,f(f(y)=y,y∈Y 设∫:X→Y和g:Y→>Z分别是x到Y的和Y到Z的映射.令 h(x)=g((x),x∈X 则h是X到Z的映射称h为∫与g的复合映射,记为go∫.显然复合映射是复合函 数概念的推广.利用复合映射的记号,(1)式可以写成 f-°f=ix,fof=iy 其中x和i分别为X和y上的恒等映射 设A是X的子集,∫和∫分别是A到Y的和X到Y的映射.若对每个x∈A成立 f(x)=f(x),则称厂是∫在X上的延拓,称∫是在A上的限制,记为f=f4 定义2设A,B是两个非空集.若存在一个从A到B的一一的到上的映射,则称A 与B是对等的,记为A~B.此外规定~②. A与B是对等就是两个集的元素可以建立一一对应的关系 对等关系具有如下性质 (i).A~A.(反身性) (i)若A~B,则B~A(对称性) (i).若A~B,B~C,则A~C.(传递性 基数有时我们需要比较两个集的元素的多与少.对于有限集,我们可以通过数出 每个集的元素的个数的方法比较两个集的元素的多与少.两个无限集是否可以比较元素 的多与少?初看起来,既然无限集都有无限多个元素,似乎两个无限集不能比较元素的 多与少.现在我们换一种方式来来考虑这个问题.在比较两个有限集的元素的多与少的 时候,还可以采用另一种方法,即“一一对应”的方法.如果A与B之间能建立一个 对应,则A与B具有同样多的元素.如果A与B的一个真子集之间能建立一个 对应,则A的元素比B的元素少.这种方法也适用于无限集的情形.先看两个例子. 例1数集(0,1)与实数集R对等 对任意x∈(0,1),令Q(x)=tan(x-)x.则Q是(0,1)到R的一一对应的映射 因此(0,1)~R.(见图2-1)12 的 x ∈ X 使得 f (x) = y. 因此我们可以定义一个Y 到 X 的映射 g 如下: 对每个 y ∈Y, 令 g( y) = x, 其中 x 是 X 中的唯一存在的满足 f (x) = y 的元. 称这样定义的映射 g 为 f 的逆映射, 记为 . −1 f 显然逆映射是反函数概念的推广. 若 f 是 X 到Y 的一一的到上 的映射, 则由逆映射的定义知道成立以下等式: ( ( )) , , ( ( )) , . 1 1 f f x = x x ∈ X f f y = y y ∈Y − − 设 f : X → Y 和 g :Y → Z 分别是 X 到Y 的和Y 到 Z 的映射. 令 h(x) = g( f (x)), x ∈ X. 则 h 是 X 到 Z 的映射. 称 h 为 f 与 g 的复合映射, 记为 g o f . 显然复合映射是复合函 数概念的推广. 利用复合映射的记号, (1)式可以写成 , . 1 1 X Y f f = i f f = i − − o o 其中 Xi 和 Yi 分别为 X 和Y 上的恒等映射. 设 A 是 X 的子集, f 和 f ~ 分别是 A 到Y 的和 X 到Y 的映射. 若对每个 x ∈ A 成立 ( ) ( ), ~ f x = f x 则称 f ~ 是 f 在 X 上的延拓, 称 f 是 f ~ 在 A 上的限制, 记为 . ~ A f = f 定义 2 设 A, B 是两个非空集. 若存在一个从 A 到 B 的一一的到上的映射, 则称 A 与 B 是对等的, 记为 A ~ B. 此外规定∅ ~∅. A 与 B 是对等就是两个集的元素可以建立一一对应的关系. 对等关系具有如下性质: (i). A ~ A. (反身性) . (ii).若 A ~ B, 则 B ~ A.(对称性). (iii).若 A ~ B B, ~C, 则 A ~C. (传递性) . 基数 有时我们需要比较两个集的元素的多与少. 对于有限集, 我们可以通过数出 每个集的元素的个数的方法比较两个集的元素的多与少. 两个无限集是否可以比较元素 的多与少? 初看起来, 既然无限集都有无限多个元素, 似乎两个无限集不能比较元素的 多与少. 现在我们换一种方式来来考虑这个问题. 在比较两个有限集的元素的多与少的 时候,还可以采用另一种方法, 即 一一对应 的方法. 如果 A 与 B 之间能建立一个一 一对应, 则 A 与 B 具有同样多的元素. 如果 A 与 B 的一个真子集之间能建立一个一一 对应, 则 A 的元素比 B 的元素少.这种方法也适用于无限集的情形. 先看两个例子. 例 1 数集(0, 1) 与实数集 1 R 对等. 对任意 x ∈ (0, 1), 令ϕ )π 2 1 (x) = tan(x − . 则ϕ 是 (0, 1) 到 1 R 的一一对应的映射. 因此(0, 1) ~ 1 R . (见图 2 1)