例6.设函数(x)在[a,b上连续在(a,b二阶可导 x)在[a,上的最小值在a,b内某点c取到 证明存在5∈(a,b)使得/”()≥0 证由于(x在[a,b上的最小值在(a,b内某点c取到 因此f(x)≥f(c)x∈[ab] 对f(x)分别在[a,l和c,小应用拉格朗日中值定理可得 f(a)-f(c)=f()a-c),51∈(a,c) f(b)-f(c)=f(22)(b-c),52∈(b,c) 由于f(a)-f(c)≥0,f(b)-f(c)≥0,所以f(5)≤0,f(52)≥0 再对f(x)分别在5上应用拉格朗日中值定理有 f(5)-(52)=f(55-52),5∈(5,52)从而/()20证: 例6. 设函数 在 上连续,在 内二阶可导, 在 上的最小值在 内某点 取到, 证明存在 使得 因此 由于 在 上的最小值在 内某点 取到, 对 分别在 和 应用拉格朗日中值定理可得 1 1 2 2 ( ) ( ) ( )( ), ( , ) ( ) ( ) ( )( ), ( , ) f a f c f a c a c f b f c f b c b c     − = −   − = −   由于 所以 1 2 f f   ( ) 0, ( ) 0,     再对 分别在 上应用拉格朗日中值定理有 1 2 1 2 1 2 f f f    ( ) ( ) ( )( ), ( , )         − = −  从而 f ( ) 0.  