则A可对角化的充要条件是,对应于每个特征值λ1,A有r个线性 无关的特征向量. 例4判断下列矩阵可否对角化 1)A 00 ,(2)A=212,(3)A=-430 221 102 解(1)q(4)=-(2+1)(+2)A+3) A有3个互异特征值→A可对角化 对应于λ1=-1,A2=-2,3=-3的特征向量依次为 PI P2 P 构造矩阵P=-1-2-3,A= 2 则有PAP=A (2)g()=-(元-5)+1) 例1求得A有3个线性无关的特征向量→A可对角化 对应于1=5,2=3=-1的特征向量依次为 PI P2 构造矩阵P=110,A= 则有PAP=A (3)q(1)=-(-2)(λ-1)2,例2求得,对应于2重特征值λ2=3=1,7 则 A 可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值  i , A 有 i r 个线性 无关的特征向量． 例 4 判断下列矩阵可否对角化： (1)           − − − = 6 11 6 0 0 1 0 1 0 A , (2)           = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A , (3)           − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 A 解 (1) () = −( + 1)( + 2)( + 3) A 有 3 个互异特征值  A 可对角化 对应于 1 = −1, 2 = −2, 3 = −3 的特征向量依次为           = − 1 1 1 p1 ,           = − 4 2 1 p2 ,           = − 9 3 1 p3 构造矩阵           = − − − 1 4 9 1 2 3 1 1 1 P ,           − − − = 3 2 1  则有 =  − P AP 1 ． (2) 2 () = −( − 5)( + 1) 例 1 求得 A 有 3 个线性无关的特征向量  A 可对角化 对应于 1 = 5, 2 = 3 = −1 的特征向量依次为           = 1 1 1 1 p ,          − = 0 1 1 p2 ,          − = 1 0 1 p3 构造矩阵           − − = 1 0 1 1 1 0 1 1 1 P ,           − = − 1 1 5  则有 =  − P AP 1 ． (3) 2 () = −( − 2)( − 1) , 例 2 求得, 对应于 2 重特征值 2 = 3 = 1