设是环上的有限可加测度,即4是上的非负值集函数满足()=0 和有限可加性.证明若满足次可数可加性,则是了上的测度 2.设A是X的一个非空真子集.试在a-代数={⑧,X,A,A}上定义一个不 恒为零的有限测度 3.设X是一不可数集.令 分={A:A或A是至多可数集} 则是一个σ-代数(见第一章习题第21题).在定义集函数H如下:若A是至多可数集 则令(A)=0.若AC是至多可数集,则令p(A)=1.证明是上的测度 在(R)上定义集函数如下:A(A)等于A中的有理数的个数(若A有无穷 多个有理数,则令(A)=+∞).证明是(R,B(R)上的可-有限测度 5.设{n}是σ-代数分上的一列测度并且{n}是单调增加的,即 n(A)≤Hn1(A),A∈.令 (A)=lmpn(A),A∈ 证明H是上的测度 6.设(X,f,p)为测度空间.证明: (1)对任意A,B∈丌,成立 (A∪B)+山(A∩B)=(A)+p(B) (2)若(X)<+∞,则对任意A,BC∈分,成立 (A∪B∪C)=H(A)+(B)+(C) A(A∩B)-(AnC A(B⌒C)+;(A∩B∩C) 7.设μ是σ-代数丌上的测度,A,B∈并且测度有限.证明 A)-以(B)≤以(A△AB) 8.设(X,丌,μ)为测度空间,{An}是一列可测集。证明 (1)( lim a)≤limp(A) (2)若AUA2<+∞,则(imA)≥imu(A1)63 习 题 二 1. 设 µ 是环R 上的有限可加测度, 即 µ 是R 上的非负值集函数满足 µ(∅) = 0 和有限可加性. 证明若 µ 满足次可数可加性, 则 µ 是F 上的测度. 2. 设 A 是 X 的一个非空真子集. 试在σ − 代数F { , , , } c = ∅ X A A 上定义一个不 恒为零的有限测度. 3. 设 X 是一不可数集. 令 F = {A: A 或 c A 是至多可数集} 则F 是一个σ -代数(见第一章习题第 21 题). 在F 定义集函数 µ 如下: 若 A 是至多可数集, 则令 µ(A) = 0. 若 c A 是至多可数集, 则令 µ(A) = 1. 证明 µ 是F 上的测度. 4. 在 ( ) 1 B R 上定义集函数 µ 如下: µ(A)等于 A 中的有理数的个数(若 A 有无穷 多个有理数, 则令 µ(A) = +∞ ). 证明 µ 是( , ( )) 1 1 R B R 上的σ − 有限测度. 5. 设{ } µ n 是σ -代数F 上的一列测度并且{ } µ n 是单调增加的, 即 µ n (A) ≤ µ n+1 (A), A∈ F . 令 = ∈ →∞ A n A A n µ( ) lim µ ( ), F . 证明 µ 是F 上的测度. 6. 设(X , F ,µ) 为测度空间. 证明: (1).对任意 A, , B ∈ F 成立 µ(A∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B). (2).若 µ(X ) < +∞, 则对任意 A, , B,C ∈ F 成立 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B C A B C A B A C A B C A B C − ∩ + ∩ ∩ − ∩ − ∩ ∪ ∪ = + + µ µ µ µ µ µ µ µ 7. 设 µ 是σ -代数F 上的测度, A, B ∈ F 并且测度有限. 证明 µ(A) − µ(B) ≤ µ(A∆B). 8. 设(X , F ,µ) 为测度空间, { } An 是一列可测集. 证明: (1). (lim ) lim ( ). n n n n µ A µ A →∞ →∞ ≤ (2).若 , 1   < +∞       ∞ = ∪ n µ An 则 (lim ) lim ( ). n n n n µ A µ A →∞ →∞ ≥