解 √x2+1-x √x2+1-x)2(√x2+1-x) 注意到当n→∞时,上式可以充分小,但是直接解不等式 希望由此得到ⅹ<M,整个过程相当繁复,现用放大法简化求M的过程因为由 2(√x2+1-x)22(-2x) 便可求得x>1,考虑到x→所需要的是x1k是v6>0, x<M时 <E 例3证明 lim sin x≠0 分析利用极限否定形式的正面陈述证明 lim sin x≠0是学习函数极限中的难点关键 在于仔细观察x→+∞时,函数snx变化的状态,适当选取E>0与x>M(vM>0), 使得snx1≥5这是今后掌握证明题和学习后继课程的基本技巧 证利用lmnf(x)≠A的正面陈述,应当证:3E>0,wM>0,3x>M,使得mx12E 当此取乱0=1,vM>0,取n∈N,使得x=2nx+z>M,于是 这样就证得 lim sin x≠0 例4设f(x)=x-[x 求在整数点n处的极限lf(x)与lmf(x) 分析初学的读者可能对求函数的在某点的左、右极限感的困难,有效的方法是仔细观 察函数在该点的左、右邻域内的表达式与变化的状态 解先求lmf(x).设d<1,当0<x-n<d时,有 于是解 2( 1 ) 1 2 1 1 2 2 2 x x x x x x x + − + +  =      − − + − 2 2 2( 1 ) 1 x + − x = 注意到当 n→ 时，上式可以充分小，但是直接解不等式   + − 2 2 2( 1 ) 1 x x ， 希望由此得到 x<-M，整个过程相当繁复，现用放大法简化求 M 的过程.因为由 =   −   + − 2 2 2 2 8 1 ( 2 ) 1 2 1 2( 1 ) 1 x x x x ， 便可求得 8 2 1 x  ，考虑到 x→− 所需要的是 8 1 x  − .于是   8 1   0,M = ，当 x<-M 时，         − − + − 2 1 1 2 x x x . 例 3 证明 lim sin  0 →+ x x . 分析 利用极限否定形式的正面陈述证明 lim sin  0 →+ x x 是学习函数极限中的难点.关键 在于仔细观察 x→+ 时，函数 sinx 变化的状态，适当选取  0  0 与 x   M （ M  0 ）， 使得 0 sin x    .这是今后掌握证明题和学习后继课程的基本技巧. 证 利用 f x A x  →+ lim ( ) 的正面陈述，应当证：  0  0,M  0,x   M ，使得 0 sin x    . 当此取 , 0 2 1  0 = M  ，取 n0  N+ ，使得 x  = n +  M 2 2 0   ，于是 0 1 0 2 sin sin 2     =       x  = n + ， 这样就证得 lim sin  0 →+ x x . 例 4 设 f (x) = x −[x]. 求在整数点 n 处的极限 lim f (x) x n → + 与 lim f (x) x n → − . 分析 初学的读者可能对求函数的在某点的左、右极限感的困难，有效的方法是仔细观 察函数在该点的左、右邻域内的表达式与变化的状态. 解 先求 lim f (x) x n → + .设  1 ，当 0  x − n   时，有 f (x) = x −[x] = x − n， 于是