第章群、环和域 设Ⅰ是正整数集合,+是Ⅰ上的普通加法,加法在正整 数集合上封闭且适合结合律。所以<l+,+>是半群。但因/+ 是无限集,所以中没有幂等元 例7.1】设R是实数集,定义R上的二元运算*为: Vx,y∈R,x*y=xy 其中xy为实数x与实数y的绝对值的乘法运算,证明<R*>是 个半群 证明:显然,x,y∈R,则xy∈R,故运算*在R上封闭 接下来只需验证*满足结合律。Vx,y,z∈R,有 (x*y)米二=(x8y)=(xby1)=xy x(y)=xy米=xy2|1xy|2 所以,(x*y)*z=x*(y*z),故<R*是一个半群。 7.1.2独异点 定义71.3设<G*是半群,如果运算*的单位元eeG, 则称半群<G*为含幺半群或独异点第7章 群、环和域 设I＋是正整数集合，＋是I＋上的普通加法，加法在正整 数集合I＋上封闭且适合结合律。所以I＋,＋是半群。但因I＋ 是无限集，所以I＋中没有幂等元。 【例7.1】设R是实数集，定义R上的二元运算*为： x, yR，x*y=x|y| 其中x|y|为实数x与实数y的绝对值的乘法运算，证明<R, *>是 一个半群。 证明：显然，x, yR，则x|y|R，故运算*在R上封闭。 接下来只需验证*满足结合律。x, y, zR，有 (x∗y)∗z=(x∗y)|z|=(x|y|)|z|=x|y||z| x∗(y∗z)=x|y∗z|=x|y|z||=x|y||z| 所以，(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，故<R, *>是一个半群。 7.1.2 独异点 定义7.1.3 设G, *是半群，如果运算*的单位元eG， 则称半群G, *为含幺半群或独异点