通常,我们把基本迭代格式(1)中的p称为第k轮搜索方向,l1为沿p方向的 步长,使用迭代方法求解(NP)的关键在于,如何构造每一轮的搜索方向和确定适当的步 设x∈R",P≠0,若存在δ>0,使 ∫(x+)<f(x),t∈(0,), 称向量P是∫在点x处的下降方向。 设x∈R",P≠0,若存在t>0,使 x+t∈K, 称向量P是点x处关于K的可行方向。 一个向量P,若既是函数∫在点x处的下降方向,又是该点关于区域K的可行方 向,称之为函数∫在点x处关于K的可行下降方向。 现在,我们给出用基本迭代格式(1)求解(NP)的一般步骤如下 0°选取初始点x°,令k:=0。 1°构造搜索方向,依照一定规划,构造∫在点x2处关于K的可行下降方向作为 度索方向p。 2°寻求搜索步长。以x为起点沿搜索方向p寻求适当的步长l,使目标函数值 有某种意义的下降。 3°求出下一个迭代点。按迭代格式(1)求出 +14p 若x已满足某种终止条件,停止迭代。 4°以x*代替x,回到°步 1.5凸函数、凸规划 设f(x)为定义在n维欧氏空间E中某个凸集R上的函数,若对任何实数 (0<a<1)以及R中的任意两点x和x2),恒有 f(ax+(1-a) 2))saf(x)+(1-a)f(x2) 则称f(x)为定义在R上的凸函数 若对每一个a(0<a<1)和x≠x2)∈R恒有 )<f(x)+(1-a)f(x2) 则称f(x)为定义在R上的严格凸函数 考虑非线性规划 min f(x) R={x|g,(x)≤0,j=1,2,…l 假定其中f(x)为凸函数,g1(x)j=1.2,…1)为凸函数,这样的非线性规划称为 凸规划。 可以证明,凸规划的可行域为凸集,其局部最优解即为全局最优解,而且其最优 解的集合形成一个凸集。当凸规划的目标函数f(x)为严格凸函数时,其最优解必定唯 (假定最优解存在)。由此可见,凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非-35- 通常，我们把基本迭代格式（1）中的 k p 称为第k 轮搜索方向， kt 为沿 k p 方向的 步长，使用迭代方法求解(NP)的关键在于，如何构造每一轮的搜索方向和确定适当的步 长。 设 x ∈ R , p ≠ 0 n ，若存在δ > 0 ，使 f (x + tp) < f (x), ∀t ∈(0,δ )， 称向量 p 是 f 在点 x 处的下降方向。 设 x ∈ R , p ≠ 0 n ，若存在t > 0，使 x + tp ∈ K ， 称向量 p 是点 x 处关于 K 的可行方向。 一个向量 p ，若既是函数 f 在点 x 处的下降方向，又是该点关于区域 K 的可行方 向，称之为函数 f 在点 x 处关于 K 的可行下降方向。 现在，我们给出用基本迭代格式（1）求解(NP)的一般步骤如下： 0° 选取初始点 0 x ，令k := 0 。 1° 构造搜索方向，依照一定规划，构造 f 在点 k x 处关于 K 的可行下降方向作为 搜索方向 k p 。 2° 寻求搜索步长。以 k x 为起点沿搜索方向 k p 寻求适当的步长 kt ，使目标函数值 有某种意义的下降。 3° 求出下一个迭代点。按迭代格式（1）求出 k k k k x = x + t p +1 。 若 k +1 x 已满足某种终止条件，停止迭代。 4° 以 k +1 x 代替 k x ，回到 1°步。 1.5 凸函数、凸规划 设 f (x) 为定义在 n 维欧氏空间 (n) E 中某个凸集 R 上的函数，若对任何实数 α(0 <α <1) 以及 R 中的任意两点 (1) x 和 (2) x ，恒有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) (1) (2) (1) (2) f αx + −α x ≤αf x + −α f x 则称 f (x)为定义在 R 上的凸函数。 若对每一个α(0 <α <1) 和 x ≠ x ∈R (1) (2) 恒有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) (1) (2) (1) (2) f αx + −α x <αf x + −α f x 则称 f (x)为定义在 R 上的严格凸函数。 考虑非线性规划 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤ = ∈ { | ( ) 0, 1,2, , } min ( ) R x g x j l f x j x R L 假定其中 f (x)为凸函数，g (x)( j 1,2, ,l) j = L 为凸函数，这样的非线性规划称为 凸规划。 可以证明，凸规划的可行域为凸集，其局部最优解即为全局最优解，而且其最优 解的集合形成一个凸集。当凸规划的目标函数 f (x)为严格凸函数时，其最优解必定唯 一（假定最优解存在）。由此可见，凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非