习题8.1. (1)令∑1和Σ2为两个闭语句集,使得没有模型能够同时满足∑1和Σ2。证明存在一个 闭语句r使得Mod∑1 C t并且Mod∑2Modr。[这说明:不相交的广义 初等类可以被一个初等类分开。 (2)证明pAx<y分Sx≤y,并且卜pAx≤y∨y≤x。[这里关于PA的练习,请不要 利用任何其它的知识。] (3)(假定读者了解一些集合论)令为ZFC的一个模型。证明存在ZFC的一个模 型使得|是|的一个子集,并且存在一个U属于1使得对所有的中的 元素a,都有a∈U 习题8.2. (1)证明引理??。 (2)证明康托尔定理:任何可数的无端点的稠密线序都同构于(Q,<Q),换言之, Th(Q,<)是N0-范畴的 (3)证明有端点的稠密线序理论Th(Q∩0,1),<)、Th(Qn(0,1,<)和Th(Q∩0,1,<)都 分别是No-范畴的,因而也是完全的。此外,再验证它们和Th(Q,<)是稠密线序理 论仅有的四个完全扩张 (4)证明:特征为0的域的理论是可公理化的,但不可有穷公理化。 (5)假定两个理论T1和T2满足(i)n1T2,(i)T是完备的,还有(i)T2是可满足的。 证明T1=T2 习题83. (1)证明塔尔斯基引理(引理??)。 (2)证明:理论Ts被下列公理公理化:(S1)和(S2)加上对语言Cs={0,s}的归纳公理 模式 (0)Ar(yp(x)→y(S) 其中p是任意的语言Cs上的公式。习题 8.1. (1) 令 Σ1 和 Σ2 为两个闭语句集，使得没有模型能够同时满足 Σ1 和 Σ2。证明存在一个 闭语句 τ 使得 Mod Σ1 ⊆ Mod τ 并且 Mod Σ2 ⊆ Mod ¬τ。[这说明：不相交的广义 初等类可以被一个初等类分开。] (2) 证明 ⊢PA x < y ↔ Sx ≤ y，并且 ⊢PA x ≤ y ∨ y ≤ x。[这里关于 PA 的练习，请不要 利用任何其它的知识。] (3) （假定读者了解一些集合论）令 A 为 ZFC 的一个模型。证明存在 ZFC 的一个模 型 B 使得 |A| 是 |B| 的一个子集，并且存在一个 U 属于 |B| 使得对所有的 |A| 中的 元素 a，都有 a ∈ B U。 习题 8.2. (1) 证明引理 ??。 (2) 证明康托尔定理：任何可数的无端点的稠密线序都同构于 (Q, <Q)，换言之， Th (Q, <) 是 ℵ0-范畴的。 (3) 证明有端点的稠密线序理论 Th (Q∩[0, 1), <)、Th (Q∩(0, 1], <) 和 Th (Q∩[0, 1], <) 都 分别是 ℵ0-范畴的，因而也是完全的。此外，再验证它们和 Th (Q, <) 是稠密线序理 论仅有的四个完全扩张。 (4) 证明：特征为 0 的域的理论是可公理化的，但不可有穷公理化。 (5) 假定两个理论 T1 和 T2 满足 (i) T1 ⊆ T2，(ii) T1 是完备的，还有 (iii) T2 是可满足的。 证明 T1 = T2。 习题 8.3. (1) 证明塔尔斯基引理（引理 ??）。 (2) 证明：理论 TS 被下列公理公理化：(S1) 和 (S2) 加上对语言 LS = {0, S} 的归纳公理 模式: [φ(0) ∧ ∀x(φ(x) → φ(Sx))] → ∀xφ(x), 其中 φ 是任意的语言 LS 上的公式。 1