§3.6条件分布函数与条件期望、回归与第二类回归 在前一章中，对离散型随机变量(5，)，我们曾经研究了在已知（们=y,)发生的条件 下5的分布问题，并称P(5=式，刀y,)为条件分布开，类似的问题对连续型随机变量也存 在。 因为连续型随机变量取单点值的概率为零，所以用分布函数P:(代)P:(5<x)来代 替离散型时的分布列PA5-a,),在这里也同样以P(5<n)来代替离散型时的 P5=x,刀y,并且称P5=x,刀y,)为已知（门y)发生的条件下5的条件分布函数 并记作F物() 现在的问愿是，如果已知(5，)的联合分布函数F(怎y)或它的密度函数叫飞，)，如 何来条件分布函数F物()。由条件概率的定义读者会想到应该有 P(5<x,刀=y) Pnw=PA5<P(n=)） 但处，因为对连续型随机变量来说，P5<x刀0，R)一0，上述等式中的右端是8 也就是数学分布中的“不定式”，这并没有解决问题。 在数学分析中已知密也是吕的不定式，为解决这个子后，先考虑有限增量时的比 伍铝、然后再令△→0，并定义 会一然 由此得到启发，我们采取同样的思想途径定义 Pah (x)=P( =lmP(5<xly≤n<y+△y) F(x,y+△y)-F(x,y) =nF+0,y+A)-F+0,》 (3.86) 因为(5，)是连续型随机变量，若其老度函数为(x少，则上式可以写成 P物FP5<ny)§3.6 条件分布函数与条件期望、回归与第二类回归 在前一章中，对离散型随机变量 (,) ，我们曾经研究了在已知 ( ) i  = y 发生的条件 下  的分布问题，并称 P(  =x i |  =y i )为条件分布开，类似的问题对连续型随机变量也存 在。 因为连续型随机变量取单点值的概率为零，所以用分布函数 P  (x)=P  (   x)来代 替离散型时的分布列 P(  =a i ),在这里也同样以 P(  <x|  =y) 来代替离散型时的 P(  =x i |  =y i )，并且称 P(  =x i |  =y i )为已知(  =y)发生的条件下  的条件分布函数, 并记作 F  | (x|y)。 现在的问题是，如果已知 (,) 的联合分布函数 F(x, y)或它的密度函数 p(x, y)，如 何来条件分布函数 F  | (x|y)。由条件概率的定义读者会想到应该有 P  | (x|y)= P(  <x|  =y)= ( ) ( , ) P y P x y =  =    但是，因为对连续型随机变量来说，P(  <x,  =y)=0, P(  =y)=0，上述等式中的右端是 0 0 ， 也就是数学分布中的“不定式”，这并没有解决问题。 在数学分析中已知 dx dy 也是 0 0 的不定式，为解决这个矛盾，先考虑有限增量时的比 值 x y   ，然后再令 x →0 ，并定义 dx dy = x y x    →0 lim 由此得到启发，我们采取同样的思想途径定义 P  | (x|y)= P(  <x|  =y) = lim ( | ) 0 P x y y y x    +   →   = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 F y y F y F x y y F x y y + +  − + +  −  → （3.86） 因为 (,) 是连续型随机变量，若其密度函数为 p(x, y)，则上式可以写成 P  | (x|y)= P(  <x|  =y)