第二十二章各种积分间的联系与场论初步 下面的图表给出了各种积分间的联系,在计算中可以根据这些关系,将一种积分转化为另一种积 分 格林公式 曲线积分 曲线积分 积分 斯托克司公式 第二型 三重 曲面积分 曲面积分 高斯公式积分 例1设L为平面上封闭曲线,l为平面上任意方向,n是L的外法线方向。证明 os(n, /)ds=0 WEB: n=(cos(n, x),cos(n,y)), T=cos(T, x), cos(T, y)) 因为 Ty (n,y)=(,-x)=丌-(,x) 则 cos(n, x)=cos(t, y), cos(n, y)=-cos(t, x) cos(n, /)=n1=cos(n, x), cos(n, y))(cos(l, x),cos(,y)) icos(t, y),cos(T, x)). cos(l, x),cos(,y)) cos(, y)cos(t, x))+cos(, x)cos(t, y) cod÷5-co,y)+cox,x)b=J。d=0 注1此例给出了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系:(这个结果在7、8、12题都要用到) cos(n, x)=cos(T, y), cos(n, y)=-cos(T, x) 注2利用这个关系,可得格林公式的另一种形式 Psn)+Qco减,y=+图 或(用外法向矢量) {P,Q}·nds= aP cO +dxdy 试比较(用正向的切线矢量)1 第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积 分。   格林公式 斯托克司公式 n  高斯公式 例 1 设 L 为平面上封闭曲线， l  为平面上任意方向， n  是 L 的外法线方向。证明 y  = L cos(n,l )ds 0   x 证明 n {cos(n, x), cos(n, y)}    = ， {cos( , x), cos( , y)}    = 因为 (n, x) ( , y)   = ， (n, y) ( , x)  ( , x)    = − = − 则 cos(n, x) cos( , y)   = ， cos(n, y) cos( , x)   = − n l n l     cos( , ) =  {cos(n, x), cos(n, y)}   = {cos(l , x), cos(l , y)}    {cos( , y), cos( , x)}   = − {cos(l , x), cos(l , y)}    cos(l , y) cos( , x)} cos(l , x) cos( , y)     = − + cos( , ) = − cos( , ) + cos( , ) = 0 = 0 L L D n l ds l y dx l x dy dxdy     注 1 此例给出了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系：（这个结果在 7、8、12 题都要用到） cos(n, x) cos( , y)   = ， cos(n, y) cos( , x)   = − 注 2 利用这个关系，可得格林公式的另一种形式：     +   + = L D dxdy y Q x P [Pcos(n, x) Qcos(n, y)]ds [ ]   或（用外法向矢量）   L {P,Q} nds     +   = D dxdy y Q x P [ ] 试比较（用正向的切线矢量） 第一型 曲线积分 三 重 积分 二 重 积分 第一型 曲面积分 积分 第二型 曲线积分 第二型 曲面积分 面积分