第六章理性生产者 d()a“f(x)=ar-(x) 注意,f(x)=∑f(x)x1。于是,amf(x)=∑f(x)x对一切1>0成立,当然对 =1也就成立。令=1,即可得到af(x)=∑x1f(x)。欧拉定理得证。 欧拉定理说明,对于a阶齐次生产函数来说,a就是任何投入方案下全部生产要素的总 贡献,即全部要素的总贡献a(x)恒为常数a。 例1. Leontief生产函数 Leontief生产函数是一种固定技术系数生产函数。设所有生产要素都必须按照固定的比 例投入使用,这个固定比例为a1:a2…:a。于是,生产一单位产品所必需的投入向量是 a=(a1,a2,…a1)>>0。生产函数f:R4→R便可写成 ()=(x)=m.2 这就是 Leontief生产函数的形式,显然这种形式的生产函数具有下面一些性质 ()f是严格单调的,即对一切x,y∈R,若x<<y,则f(x)<f(y) (2)f是一阶齐次函数,即对任何x∈R及任何实数t>0,都有f(x)=1f(x) (3)生产要素之间不能相互替代 (4)等产量曲线是如图6-2(a)所示的夹角为90°的折线(两种要素情形) 例2.cobb- Douglas生产函数 Cobb- Douglas生产函数的形式是: (x)=f(x,x2…,x)=x=Axx2…x(x∈R) 其中A,a1,a2,…,at都是正的常数,A称为技术进步系数 记a=a1+a2+…+a。可以看出 (1)f是a阶齐次函数 (2)an是要素h的贡献,即a=ah(x)=xnf(x)/(x),a是全部要素的总贡献 (3)f是单调的,即对一切x,y∈R,若x≤y,则f(x)≤f(y) (4)f是内部强单调的,即对一切x,y∈R,若x<y,则f(x)<f(y) (5)投入要素之间可以完全相互替代,因而技术系数完全可变; (6)边际替代率MMk(x)=(a4xk)(ax)=(xk/x)(a/(ak),贡献系数R(x)=an/ak为常 数,技术系数Th(x)=xk/xb (7)贡献弹性为无穷大,替代弹性单一。这是因为贡献系数为常数,从而贡献弹性为无穷大 再根据替代弹性与贡献弹性之间的对偶关系可知,替代弹性单一。 例3.CES生产函数 CES( Constant Elasticity of Substitution)生产函数(即不变替代弹性生产函数)的定义为 f(x)=fo x° R 其中y,δ1,2,…,o,p,D都为正的常数 (1)f是U阶齐次函数第六章 理性生产者 134 ( ) ( ( )) ( ) 1 t f x t f x dt d f t x dt d − = =    注意，  = =   1 ( ) ( ) h h h f t x f t x x dt d 。于是，  = − =   1 1 ( ) ( ) h h h t f x f t x x   对一切 t  0 成立，当然对 t =1 也就成立。令 t =1 ，即可得到  = =   1 ( ) ( ) h h h  f x x f x 。欧拉定理得证。 欧拉定理说明，对于  阶齐次生产函数来说，  就是任何投入方案下全部生产要素的总 贡献，即全部要素的总贡献 (x) 恒为常数  。 例 1. Lèontief 生产函数 Lèontief 生产函数是一种固定技术系数生产函数。设所有生产要素都必须按照固定的比 例投入使用，这个固定比例为 a a  a : : : 1 2 。于是，生产一单位产品所必需的投入向量是 a = (a1 , a2 ,  , a )  0 。生产函数 f R+ → R  : 便可写成：       = =      a x a x a x f (x) f (x , x , , x ) min , , , 2 2 1 1 1 2 这就是 Lèontief 生产函数的形式，显然这种形式的生产函数具有下面一些性质： (1) f 是严格单调的，即对一切  R+ x, y ，若 x  y ，则 f (x)  f (y) ； (2) f 是一阶齐次函数，即对任何  R+ x 及任何实数 t  0 ，都有 f (t x) = t f (x) ； (3) 生产要素之间不能相互替代； (4) 等产量曲线是如图 6-2(a)所示的夹角为  90 的折线(两种要素情形)。 例 2. Cobb—Douglas 生产函数 Cobb—Douglas 生产函数的形式是：           f x f x x x A x Ax x x h h h 1 2 1 2 1 1 2 ( ) = ( , , , ) =  = = ( )  R+ x 其中      , , , , A 1 2 都是正的常数， A 称为技术进步系数。 记  =1 + 2 ++  。可以看出： (1) f 是  阶齐次函数； (2)  h 是要素 h 的贡献，即 (x) x f (x) f (x) h h h h  = =  ， 是全部要素的总贡献； (3) f 是单调的，即对一切  R+ x, y ，若 x  y ，则 f (x)  f (y) ； (4) f 是内部强单调的，即对一切  R++ x, y ，若 x  y ，则 f (x)  f (y) ； (5) 投入要素之间可以完全相互替代，因而技术系数完全可变； (6) 边际替代率 ( )( ) hk h k k h k h h k M (x) = ( x ) ( x ) = x x   ，贡献系数 hk h k R (x) =  为常 数，技术系数 hk k h T (x) = x x ； (7) 贡献弹性为无穷大，替代弹性单一。这是因为贡献系数为常数，从而贡献弹性为无穷大。 再根据替代弹性与贡献弹性之间的对偶关系可知，替代弹性单一。 例 3. CES 生产函数 CES(Constant Elasticity of Substitution)生产函数(即不变替代弹性生产函数)的定义为：      − = −       = =     1 1 2 ( ) ( , , , ) h h h f x f x x x x ( )  R+ x 其中  , 1 , 2 ,  ,  , , 都为正的常数。 (1) f 是  阶齐次函数