§231 Bessel方程的本征值问 本征值问题(23.3)已经多次见到过,对应于它的本征值 m2,m=0,1,2,3,…, 本征函数为 m() sin mo. 所以,在本征值问题(23.4)中,参数m2是已知的,而k2是本征值,待求 可以证明 k/ R()R()rdr=m2/ R()R(r) dr,"dr(r)dR*(r) 定有本征值k2>0.通过作变换x=kr,v(x)=B),就可以将微分方程(234a)化为 Bessel方程,从而求得它的通解 R()=CJm(kr)+DNm(k 考虑到边界条件(23.4b)的要求,R(O)有界,故D=0;又由于要求R(a)=0,就得到 将m阶 Bessel函数Jn(x)的第i个正零点(由小到大排列)记作plm),i=1,2,3,…,则本征值 题(234)的解是 本征值 本征函数nmi(r)=Jm(kmir) 23 于是就求得了圆形薄膜的固有振动的角频率 其中m)是m阶 Bessel函数Jn(x)的第i个正零点 在上述求解过程中,实际上用到了有关J(x)零点的结论:当u>-1或为整数时,J(x)有 无穷多个零点,它们全部都是实数,对称地分布在实轴上Wu Chong-shi §23.1 Bessel ➭➯➲➳➵➸➺➻ ➼ 2 ➽ ✦✧★✗✘ (23.3) ➾➚➪➶➹➑➘✛➴➷➬➮✥✦✧★ m2 , m = 0, 1, 2, 3, · · ·, ✦✧➱✃❐ Φm(φ) =  cos mφ, sin mφ. ❒➥✛✑✦✧★✗✘ (23.4) ❿ ✛❮✃ m2 ➌ ➾❰✥✛Ï k 2 ➌✦✧★✛Ð✪✩ ➔➥Ñ Ò k 2 Z a 0 R(r)R ∗ (r)rdr = m2 Z a 0 R(r)R ∗ (r) dr r + Z a 0 dR(r) dr dR∗ (r) dr rdr, ❒➥✛✓✮✳✦✧★ k 2 > 0 ✩Ó➘Ô➨Õ x = kr ✛ y(x) = R(r) ✛ ➋ ➔➥➝➄➅✣✤ (23.4a) Ö❐ Bessel ✣✤✛✒Ï✪↕➮✥ Ó➜ R(r) = CJm(kr) + DNm(kr). (23.5) ×Ø➑ ➇➈➉➊ (23.4b) ✥ ➍✪✛ R(0) ✳ ➈ ✛Ù D = 0 ÚÛ Ü➬➍✪ R(a) = 0 ✛ ➋ ↕➑ Jm(ka) = 0. (23.6) ➝ m Ý Bessel ➱✃ Jm(x) ✥Þ i ✔ß➛❼ (Üà➑áâã) ä Ô µ (m) i ✛ i = 1, 2, 3, · · · ✛å ✦✧★✗ ✘ (23.4) ✥ ➜ ➌ ✦ ✧ ★ k 2 mi = µ (m) i a !2 , i = 1, 2, 3, · · · , (23.7a) ✦✧➱✃ Rmi(r) = Jm(kmir). (23.7b) ➬ ➌➋✪↕æ ✯✰✱✲✥ ✭✳çè✥é✴✵ ωmi = µ (m) i a c, (23.8) ê ❿ µ (m) i ➌ m Ý Bessel ➱✃ Jm(x) ✥Þ i ✔ß➛❼✩ ✑ëì✪➜➘ ✤ ❿ ✛íîëï➑æ✳ð Jν(x) ➛❼ ✥ñ✢❋ò ν > −1 ó❐ô✃õ✛ Jν(x) ✳ ö÷➪ ✔➛❼✛➮øùúû➌ í ✃ ✛➴üý➅þ✑íÿë✩