实分析精选50题 证明: 由上题可以得到:对于X中任意一个元素E,存在E中有界闭集F,使得 m(F)=a<m(E).这里因为F属于某一个闭区间,去掉闭区间的两个端点 考虑到开集的构造,由于0<m(F)=a<m(E),所以必存在一个区间属于F 故对于每一个E,存在一个区间Ⅰ,IcE.考虑到有理数的稠密性,所以每 个I中存在有理数点.又因为有理数全体是可数的,所以X是可数的.证毕 11.设EcR有界,试证明:E是可测集当且仅当VE>0,存在有限个互不相交 的区间l,12,mn之并集J=Ul,使得m(E△)<E 证明: 因为E是可测集,且有界.所以存在一个闭集FCE,使得m(E\F)< 对于F,必存在一个开集G=F,使得m(G\F)<.由开集的构造可以得到, 存在{1}(k=12,),使得G=∪注意到F是一个有界闭集,所以是紧的.故 存在有限个1,(不妨记为:1,l2,Jm)使得J=UlkF·注意到 EMc(GNF)儿U(E\F),所以m(E△)=m(EM)<E 由题意,vE>0,有在有限个互不相交的区间,2,Jm之并集J=∪,使 得m(EA/)<E.考虑E\JcEM,因为m(E△/)<E,总存在一个开集G覆盖 E\J使得m(G)<E+E.令E\J=E0,所以m(G\E0)<2E 不妨考虑这有限个区间为开区间.这时GUJ会G也为开集.并且 m(G\E)<m(G\E0)<2 由于E的任意性,我们可以得到:vE>0,存在开集G,使得GE,m(G\E)<E 事实上这就是E可测的充分必要条件.所以E是可测集 证毕实分析精选 50 题 11 证明： 由上题可以得到：对于 X 中任意一个元素 E ，存在 E 中有界闭集 F ，使得 mF mE () () = < α ．这里因为 F 属于某一个闭区间，去掉闭区间的两个端点， 考虑到开集的构造，由于0 () () < =< mF mE α ,所以必存在一个区间属于 F ． 故对于每一个 E ，存在一个区间 I,I E ⊂ ．考虑到有理数的稠密性，所以每 一个 I 中存在有理数点．又因为有理数全体是可数的，所以 X 是可数的． 证毕 11. 设 1 E R ⊂ 有界，试证明： E 是可测集当且仅当∀ε > 0 ,存在有限个互不相交 的区间 1 2 , ,... m I I I 之并集 1 m k k J I = =∪ ，使得 * mEJ ( ) Δ < ε ． 证明：⇒ 因为 E 是可测集，且有界．所以存在一个闭集 F E ⊂ ，使得 (\) 2 mE F ε < ． 对于 F ，必存在一个开集G F ⊃ ，使得 (\) 2 mG F ε < ．由开集的构造可以得到， 存在{Ik} ( ) k =1, 2,... ，使得 1 k k G I ∞ = =∪ ．注意到 F 是一个有界闭集，所以是紧的．故 存在有限个 i I ，（ 不 妨 记 为 ： 1 2 , ,... m I I I ）使得 1 m k k J IF = =∪ ⊃ ．注意到 EΔ ⊂J GF EF ( )( ) \ \ ∪ ，所以 * m E J mE J ( )( ) Δ = Δ< ε ． ⇐ 由题意，∀ > ε 0 ,存在有限个互不相交的区间 1 2 , ,... m I I I 之并集 1 m k k J I = =∪ ，使 得 * mEJ ( ) Δ < ε ．考虑 E \ J EJ ⊂ Δ ，因为 * mEJ ( ) Δ < ε ，总存在一个开集G 覆盖 E J\ 使得m G( ) < + ε ε ．令 E J\ = E0，所以 * 0 mGE (\ )2 < ε ． 不妨考虑这有限个区间为开区间．这时 GJG ∪  0 也为开集．并且： * * 0 0 mG E mGE ( \) (\ )2 < < ε 由于ε 的任意性，我们可以得到：∀ε > 0 ，存在开集G ，使得G E ⊃ ， * mGE (\) < ε 事实上这就是 E 可测的充分必要条件．所以 E 是可测集． 证毕