第十一讲留数定理及其应用(二) 第1页 第十一讲留数定理及其应用(二) §11.1含三角函数的无穷积分 这类定积分的标准形式可以写成 I=f(x)cos padx或=f(x) sin pxdr 这里不妨假设p>0. 处理这种类型的积分,仍可以采用半圆形的围道是被积函数不能简单地取为f(z)cos pz 或f(z)sin pz.这是因为z=∞是函数sinz或cosz的本性奇点(这意味着当z以不同 方式趋于∞时,sinz或cosz可以逼近于不同的数值),不便于直接计算 imf(z)cos pzdz或lim R→∞JCR R→∞JCR f(=)sinpzdz. 正确的做法是将被积函数取为f(z)ep如果函数(z)e在上半平面内只有有限个奇点,则 R (z)e'pzdz= f()+(z) 2dz R R R f()[cos px +isin pa]+ f(z) R CR 2i∑resfze 上半平面 只要能够计算出 lim f()eipzdz, R-∞JCR 分别比较实部和虚部,就可以求得 ∞ f(x)cos px和f(x) sin pxdr. ∞ 为此,介绍一个引理 引理11.1(Jordan引理)设在0≤argz≤元的范围内,当|z→∞时,Q(z)一致地趋近于 0,则 lim()eip-dz=0, R→∞JCR 其中P>0,CR是以原点为圆心,R为半径的上半圆 证当z在CR上时,z=Rei () -dz(Re Rei)eipr(cose+isin) Reide CR 0Wu Chong-shi ￾✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☛ (☞) ✌ 1 ✍ ✎✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚ (✛) §11.1 ✜✢✣✤✥✦✧★✩✪ ✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✵✶✷✸ I = Z ∞ −∞ f(x) cos pxdx ✹ I = Z ∞ −∞ f(x) sin pxdx. ✫✺✻✼✽✾ p > 0 ✿ ❀❁❂❃❄❅❆❇❈❉❊❋ ●❍■❏❑▲❆▼◆ ✿❖P◗❇❘❙❚❯ ❱❲❳❨❩ f(z) cos pz ❬ f(z) sin pz ✿❂P ❭❩ z = ∞ P❘❙ sin z ❬ cos z ❆❪❫❴❵ (❂❛❜❝ ❞ z ●❚ ❡ ❢❣❤✐ ∞ ❥ ❉ sin z ❬ cos z ❋ ●❦❧✐❚ ❡❆❙♠) ❉❚♥✐♦♣qr lim R→∞ Z CR f(z) cos pzdz ❬ lim R→∞ Z CR f(z) sin pzdz. st✰✉✈✇①②✮③④⑤⑥ f(z)eipz ✿⑦⑧③④ f(z)eipz ⑨⑩❶❷❸ ❹❺❻❻❼❽❾❿❉➀ I C f(z)eipzdz = Z R −R f(x)eipxdx + Z CR f(z)eipzdz = Z R −R f(x) [cos px + i sin px] dx + Z CR f(z)eipzdz = 2π i X ➁➂➃➄ res  f(z)eipz . ❺➅➆➇➈➉➊ lim R→∞ Z CR f(z)eipzdz, ✯➋ ➌➍➎➏➐➑➏❉➒✵✶➓➔ Z ∞ −∞ f(x) cos px dx ➐ Z ∞ −∞ f(x) sin pxdx. ❩→❉➣↔↕➙ ➛❁ ✿ ➜➝ 11.1(Jordan ➜➝) ✾⑨ 0 ≤ arg z ≤ π ✰➞ ➟❹❉➠ |z| → ∞ ➡ ❉ Q(z) ➢➤➥➦➧➨ 0 ❉➀ lim R→∞ Z CR Q(z)eipzdz = 0, ➩ ➫ p > 0 ❉ CR ✇✶➭❿⑥ ➯➲❉ R ⑥❶➳✰⑩❶ ➯ ✿ ➵ ➠ z ⑨ CR ⑩➡ ❉ z = Re iθ ❉     Z CR Q(z)eipzdz     =     Z π 0 Q ￾ Re iθ
e ipR(cos θ+i sin θ)Re iθ idθ