则(Y◆r,y+1)是(5)~(8)的最优解。 证明：反证。设(Y◆T,y+:)T不是(5)~(8)的最优解。因S非空有界，(5)~ (8)一定有最优解。 设(YT,y+1)T是(5)~(8)的最优解，则有 pryo+ayi+1<PTY*+ay+ 令K=y。 y+ 则 pix.tapryotaypry.+ay qix+8-qryBy <piY+ay=(PTX+a)y=prX+a y ΓqTX◆+B 即 PTX°+aPTX◆+a qX°+BqrX*+B 这与X◆是(1)~(3)的最优解矛盾。定理得证。 综合定理1和定理2得到： 定理3。设对任意的X∈S,有qTX+B<0,>0,则线性分式规划(1)~(3)与 线性规划(5)~(8)等价。 上述定理中的条件qTX+>0只需在极小点附近成立即可。 如果极小点附近有： qX+8<0 我们可以将(1)中的分子、分母同乘以一1，得 -PiX-a min-qrX-日 。.程：.) 这时，-qTx->0,则由定理3，(1)′(2)(3)即(1)~(3)与线性规划 min (-prY-ay+1) (5) s.t.AY-by+=0 (6) -qTY-By+1=Y,>0 (7) Y≥0，ya+:≥0 (8) 等价。一般解对应的线性规划时，Y可取任意的正数值。 了线性分式规划的多项式算法 下面为了讨论方：便，设qTx+B<0。 由于线性规划(5)~(8)的特殊结构， ·152·则 ， 夕育 十 犷 是 的最优解 。 证 明 ， 反证 。 设 钾 ， 份 不 是 的最优解 。 因 非空 有 界 ， 一 定有最 优解 。 设 “ ， 言 是 的最 优解 ， 则 有 了 ” 对 尸 了 育 十 。 今 式 。 一 丫石一 少 。 尸丁 。 尸 。 万可 于不万一 了 瓜 丙熟 尸 丁 ’ 下 些今 竺业生 二二 尸 份 ， 尸 ， 一 万丁灭币 千刀 即 尸 。 尸 ， 了灭 石 千刀 、 砰灭币不刀 这与 是 ‘ 一 的最 优解矛盾矿定理得证 。 综合定理 和 定理 得 到 定理 设对任意 的 任 ， 有 刀 ， 夕 ， 则 线性分式规划 ’ 与 线性规 划 等价 。 上述定理 中的条件 ， 刀 只 需 在极小点 附近成立 即可 。 如果极小点 附近有 刀 我们可 以将 中的分 子 、 分母 同乘 以 一 ， 得 · 一 】 一 尸了 一 一 一 刀 祀 一 而 、 尹 、吸了 勺吕口内一 、少 ‘ 、尹了、 了、、‘了、 这时 ， 一 ， 一 刀 ， 则 由定理 ， 产 即 与线性规划 一 一 夕 十 ， 犷 一 少 ， 们 二 一 ， 一 刀夕 。 ， ，， 夕 ， 。 十 》 等价 。 一般解对 应的线性规划时 ， ，可 取任意 的正数值 。 线性分式规划的多项式算法 下 面为 了讨论方 了便 ， 设 ， 刀 。 。 由于线性规 划 的特殊结 构