第一学期第二十一次课 第四章§2子空间与商空间 42.4子空间的直和与直和的四个等价定义 定义设V是数域K上的线性空间,V,2…Vm是V的有限为子空间。若对于∑V 中任一向量,表达式 a=a1+a2+…+cmn,a1∈Vi=1,2,…,m 是唯一的,则称∑V为直和,记为 V,⊕…④Vmn或⊕V 定理设VV2…Vm为数域K上的线性空间Ⅴ上的有限为子空间,则下述四条等价: 1)、V1+V+…+Vm是直和 2)、零向量表示法唯一; 3)、V∩(V1+…+V+…+Vn)={0},vi=1,2,…,m 4)、dim(+H2+…+Vm)=dimV+dmV2+…+ dimk 证明1)→2)显然。2)→1)设a=a1+a2+…+an=B+B2+…+Bn,则 (a1-B1)+(a2-B2)+…+(an-Bn)=0 由2)知,零向量的表示法唯一,于是 c1=B,i=1,2,…,m 即a的表示法唯一。由直和的定义可知,V1+V,+…+V是直和。2)→3)假若存在某 个i,1≤i≤m,使得V∩(1+…+V+…+Vm)≠{0},则存在向量a≠0且 a∈h∩(V+…+V+…+Vm),于是存在a,∈V,使得 +2+…+am 由线性空间的定义 a∈V∩(+…+V+…+Vm), 则a1+…+(-a)+…+an=a+(-a)=0,与零向量的表示法唯一矛盾,于是 v∩(+…+V+…+Vn)={0},i=1,2,…,m 3)→2)若2)不真,则有 0=a,+…+a+ 其中a,∈V,(=1,2,,m)且彐a1≠0。于是第一学期第二十一次课 第四章 §2 子空间与商空间 4.2.4 子空间的直和与直和的四个等价定义 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间， 1 2 , , , V V Vm 是 V 的有限为子空间。若对于 1 m i i V =  中任一向量，表达式 1 2 , , 1,2, ,      = + + +  = m i i V i m 是唯一的，则称 1 m i i V =  为直和，记为 2 V V V 1    m 或 1 m i i V =  。 定理 设 1 2 , , , V V Vm 为数域 K 上的线性空间 V 上的有限为子空间，则下述四条等价： 1）、 2 V V V 1 + + + m 是直和； 2）、零向量表示法唯一； 3）、 1 ˆ ( ) {0}, 1,2, , V V V V i m i i m + + + + =  = ； 4）、 1 2 1 2 dim( ) dim dim dim V V V V V V + + + = + + + m m 。 证明 1) 2)  显然。 2) 1)  设 1 2 1 2 ,        = + + + = + + + m m 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0       − + − + + − = m m 。 由 2）知，零向量的表示法唯一，于是 , 1,2, , i i   = =i m， 即  的表示法唯一。由直和的定义可知， 2 V V V 1 + + + m 是直和。 2) 3)  假若存在某 个 i i m ,1  ，使得 1 ˆ ( ) {0} V V V V i i m + + + +  ，则存在向量   0 且 1 ˆ ( )   + + + + V V V V i i m ，于是存在  j j V ，使得 1 ˆ     = + + + + i m 。 由线性空间的定义， 1 ˆ ( ) −  + + + +  V V V V i i m ， 则 1 ( ) ( ) 0      + + − + + = + − = m ，与零向量的表示法唯一矛盾，于是 1 ˆ ( ) {0}, 1,2, , V V V V i m i i m + + + + =  = 。 3) 2)  若 2）不真，则有 1 0 = + + + +    i m ， 其中 ( 1,2, , )  j j  = V j m 且 0   i 。于是