I av Ou av__ Ou..au 化简上式并利用f(-)解析,其实、虚部满足CR条件,得 ax ay 解得2=如=0,同理也可求得Cm=如=0,即u和v均为实常数,分别记为C,和C,从而 f()=+m=C2+C3=C为一复常数 (5)若a+b=c,其中a、b和c为不全为零的实常数,这里a和b不全为0,即a2+b2≠0 否则此时a、b和c全为零。对方程a+b=c分别对于x和y求偏导,得 a一a 再利用解析函数f()=+i的实、虚部u和v满足CR条件,得 aaa aa 解得=2=0,同理也可求得==0,知函数/()为一常数 11.下列关系是否正确? (1)e=e; (2) COS==cos=: (3) sin==sin 3 Hf(1)e=e (cos y +isin y)=e (cos y-isin y)=e-ly=e (2)cos- +e)=cos彐。 2 (3) m:-)=42-=2 242-c+)=s 12.找出下列方程的全部解。 (3)1+e=0; (4)sin z+cosz=0 解(3)原方程等价于e=-1,于是它的解为5 0 1 1 2 2 2 2 = + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ u v x u v x v u u v x u v x v u u 0 1 1 2 2 2 2 = + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ u v y u v y v u u v y u v y v u u 化简上式并利用 f ( )z 解析，其实、虚部满足 C-R 条件，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − 0 0 y u v x u u y u u x u v 解得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y u x u ，同理也可求得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x u ，即u 和v 均为实常数，分别记为C2 和C3，从而 f ( )z = u + iv = C2 + iC3 = C 为一复常数。 （5）若 au + bv = c ，其中 a 、b 和 c 为不全为零的实常数，这里 a 和 b 不全为 0，即 0 2 2 a + b ≠ ， 否则此时a 、b 和 c 全为零。对方程 au + bv = c 分别对于 x 和 y 求偏导，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 0 y v b y u a x v b x u a 再利用解析函数 f ( )z = u + iv 的实、虚部 u 和 v 满足 C-R 条件，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 0 0 y u a x u b y u b x u a 解得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y u x u ，同理也可求得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x v ，知函数 f (z) 为一常数。 11.下列关系是否正确？ （1） z z e = e ； （2）cosz = cosz ； （3）sin z = sin z 解（1） z x x x y z e = e y + y = e y − y = e = e −i (cos isin ) (cos isin ) （2） (e e ) ( ) e e z e e z z z z z z z cos 2 1 2 1 2 cos i i i i i i = + = + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = − − − 。 （3） ( ) ( ) ( ) 2i 1 2i 1 2i 1 sin iz iz iz iz iz iz z e e e e e − e − = − = − = − − − = (e e ) z z z sin 2i 1 i i − = − 。 12．找出下列方程的全部解。 （3）1+ = 0 z e ； （4）sin z + cosz = 0 ； 解（3）原方程等价于 = −1 z e ，于是它的解为：