取H∩V2的一组基E1,E2…,6,(若V∩v2=0,则r=0,基为空集) 将此基分别扩充为V1,H2的基 E,B1,B2…B. 只需要证明s1,E2,…,E,12a2…,a,,B,B2…B-是V+V2的一组基即可 首先,易见V+2中的任一向量都可以被E1:E2…51,a1,2…a,B,B2…,B线性表 出。事实上,Vy∈V+V2,则γ=%1+y2,其中y1∈H1,y2∈V2, 而 1=kE1+k2E2 r E a,+…+ka 72=l+l52+…+15n+1a1++2+…+la-k,l∈K 于是y=y+y2可被E1E2,…,E11,a2…,a1-,月,B2…B-线性表出。只要再证明向量 组E12E2…,En,(12a2…,a1-,月,B2,…B-线性无关即可 设kE1+k2E2+…+kE+a11+a2a2+…+a,1+bB1+b2B2+…+bB-=0 其中k,a,b∈ k1+k2E2+…+k,En+a11+a2a2+…+a,=-bB1-b2B2-…-bB→,(*) 于是 k51+k2E2+…+kE+a1a1+a2a2+…+a1-O-∈V bB-b2B2-…-bB∈V2, 于是kE1+k2E2+…+kEn+a1a1+a2a2+…+a1a-∈V∩V2,记为a。 则a可被E1,E2,…,E,线性表示,则 hE1+h2E2+…+hE h+h2E2+…+hE+b月+b2B2+…+bB-= 由于51E2…,,月,B2,…,B是V2的一组基,所以线性无关,则 h=h2=…=b=b=b2 带回(*),又有 k=k2=…=k 于是向量组E,E2…,6,a12a2…,a,,B,月2…B-线性无关 证毕 推论21设V,H2…7都是有限为线性空间V的子空间,则:取 V V 1 2 的一组基 1 2 , , , r    （若 V V 1 2 =0，则 r = 0 ，基为空集） 将此基分别扩充为 1 2 V V, 的基 1 2 1 2 , , , , , , , r s r       − ， 1 2 1 2 , , , , , , , r t r       − ， 只需要证明 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , r s r t r          − − 是 V V 1 2 + 的一组基即可。 首先，易见 V V 1 2 + 中的任一向量都可以被 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , r s r t r          − − 线性表 出。事实上， V V 1 2   +  ，则 1 2    = + ，其中 1 1 2 2     V V , ， 而 1 1 1 2 2 1 1 2 2 , r r r r s s r        k k k k k k = + + + + + + + + + − 2 1 1 2 2 1 1 2 2 . r r r r t t r        l l l l l l = + + + + + + + + + − , i j k l K  于是 1 2    = + 可被 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , r l r t r          − − 线性表出。只要再证明向量 组 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , r l r t r          − − 线性无关即可。 设 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 r r s r s r t r t r k k k a a a b b b          + + + + + + + + + + + = − − − − ， 其中 , , i j h k a b K  则 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 r r s r s r t r t r k k k a a a b b b          + + + + + + + = − − − − − − − − ，（*） 于是 1 1 2 2 1 1 2 2 1 r r s r s r k k k a a a V       + + + + + + +  − − ， 1 1 2 2 2 t r t r − − − −  b b b V   − − ， 于是 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 r r s r s r k k k a a a V V       + + + + + + +  − − ，记为  。 则  可被 1 2 , , , r    线性表示，则 1 1 2 2 r r     = + + + h h h ， 带入（*），有 1 1 2 2 1 1 2 2 0 r r t r t r h h h b b b       + + + + + + + = − − ， 由于 1 2 1 2 , , , , , , , r t r       − 是 V2 的一组基，所以线性无关，则 1 2 1 2 0 r t r h h h b b b = = = = = = = = − ， 带回（*），又有 1 2 1 2 0 r s r k k k a a a = = = = = = = = − ， 于是向量组 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , r s r t r          − − 线性无关。 证毕。 推论 2.1 设 1 2 , , , V V Vt 都是有限为线性空间 V 的子空间，则：