第二学期第十七次课 第九章元多项式环 §1一元多项式环的基本理论 911域上的一元多项式环的定义 定义91设K是一个数域,x是一个不定元。下面的形式表达式 f(x)=a0+ax+a2x2+…+anx”+ (其中a,a1a2…属于K,且仅有有限个不是0)称为数域K上的一个不定元x的一元多 项式。数域K上一个不定元x的多项式的全体记作K[x] 下面定义K[x内加法、乘法如下: 加法设 f(x)=a,+a,x+a,x g(x)=b+bx+b,x+ 则定义 ∫(x)+g(x)=(a+b)+(a1+b)x+(a2+b2)x2+ 为f(x)和g(x)的和。 乘法设 f(x)=a0+a1x+a2x2+…, )=b+b,x+b, Ck=ab+ab-1+a2b-2+…+ab(k=0,1,2) 义 f(x)g(x)=Co+C,x+C,x 为f(x)和g(x)的乘积。 容易验证,上面定义的加法、乘法满足如下运算法则 1)加法有结合律 2)0(x)=0+0 称为零 项式 满足 f(x)+0(x)=f(x)(Vf(xEKLxD) 3)Vf(x)=a0+ax+a2x2+…都有逆元-f(x)=-a0+(-a1)x+(-a2)x2 使得f(x)+(-f(x))=0; 4)加法有交换律 5)乘法有结合律第二学期第十七次课 第九章 一元多项式环 §1 一元多项式环的基本理论 9.1.1 域上的一元多项式环的定义 定义 9.1 设 K 是一个数域， x 是一个不定元。下面的形式表达式 2 0 1 2 ( ) n n f x a a x a x a x = + + + + + （其中 0 1 2 a a a , , ,... 属于 K ，且仅有有限个不是 0）称为数域 K 上的一个不定元 x 的一元多 项式。数域 K 上一个不定元 x 的多项式的全体记作 K x[ ] 。 下面定义 K x[ ] 内加法、乘法如下： 加法 设 2 0 1 2 2 0 1 2 ( ) , ( ) , f x a a x a x g x b b x b x = + + + = + + + 则定义 2 0 0 1 1 2 2 f x g x a b a b x a b x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + + + + + 为 f x( ) 和 g x( ) 的和。 乘法 设 2 0 1 2 2 0 1 2 ( ) , ( ) , f x a a x a x g x b b x b x = + + + = + + + 令 0 1 1 2 2 0 ( 0,1,2,...) k k k k k c a b a b a b a b k = + + + + = − − 定义 2 0 1 2 f x g x c c x c x ( ) ( ) , = + + + 为 f x( ) 和 g x( ) 的乘积。 容易验证，上面定义的加法、乘法满足如下运算法则： 1） 加法有结合律； 2） 2 0( ) 0 0 0 x x x = + + + 称 为 零 多 项 式 ， 满 足 f x x f x f x K x ( ) 0( ) ( ) ( ( ) [ ]) + =   3） 2 0 1 2  = + + + f x a a x a x ( ) 都有逆元 2 0 1 2 − = − + − + − + f x a a x a x ( ) ( ) ( ) 使得 f x f x ( ) ( ( )) 0 + − = ； 4） 加法有交换律； 5） 乘法有结合律；