Methods ofm ical Physi Chapter 7 Fourier transfor YLMa@ Phys. FDU f(o 2n丌 (在连续点) (27smx1)=1(+0)+1(-0)(在间断点 *第一类间断点在此点t=t0函数f()不连续,但左极限lmf(1)和右 极限lmf(1)均存在且有限,所以可积 r-0+0 Fourier级数的物理意义 任何周期信号必可分解为直流成分与基波和各高次谐波的交流成分之 和,它们的振幅分别为√an+b2( See Chapter03分高变量法&本征值问题).因 此,傅里叶级数又成为傅里叶频谱分析( Spectrum analysis 2. Fourier级数的复数形式(简洁): 利用 ineos -InoI ine +e COS nO f()=∑ c,e b l((t)=∑ncn=",z=e- discrete frequencies:n=no(n=0,±1,±2,…, quantum numbers)l 其中 f(1)edr,(n=0,±1±2,…) ibn ib Co =ao, C 各次谐波的振幅为2ln 3.有限区间非周期函数的 Fourier展开(实际体系都有限非周期): 对有限区间的非周期函数,总可以通过延拓来构造周期函数,然后 作傅里叶展开(即拷贝不走样)。设函数f(x)在坐标空间的区间x{-,小上 满足 Dirichlet条件,则f(x)的 Fourier级数为, f(x)=a+∑| a,cos +b sin nT ≤x≤l) f(xdx 其中, -1(o(n=123-) ∫/()nx(m=123Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 2 ( ) ( ) 0 1 ( ) 2 2 cos sin ( 0) ( 0) . 2 n n n f t t n n a a t b t f t f t T T t    =     + + =    + + −      在连续点 在间断点 *第一类间断点: 在此点 0 t = t 函数 f (t) 不连续，但左极限 lim ( ) 0 0 f t t→t − 和右 极限 lim ( ) 0 0 f t t→t + 均存在且有限，所以可积。 Fourier 级数的物理意义： 任何周期信号必可分解为直流成分与基波和各高次谐波的交流成分之 和，它们的振幅分别为 2 2 an + bn （See Chapter 10.3 分离变量法&本征值问题）. 因 此，傅里叶级数又成为傅里叶频谱分析(Spectrum analysis). 2. Fourier 级数的复数形式(简洁)： 利用 i e e n t in t in t 2 sin 0 0 0    − − = 和 2 cos 0 0 0 in t in t e e n t    − + = 得 0 0 ( ) [ ( ( )) , ] in t i t n n n n n f t c e f z t c z z e    − −  =− =− = = =   [discrete frequencies: 0 ,( 0, 1, 2, ,quantum numbers) n   = =   n n ], 其中， 1 2 0 1 2 1 ( ) d T in t n T c f t e t T  − =  , (n = 0,1,2, ) . 0 a0 c = ， 2 n n n a ib c + = ， 2 n n n a ib c − − = . 各次谐波的振幅为 n 2 c . 3. 有限区间非周期函数的Fourier 展开（实际体系都有限非周期）： 对有限区间的非周期函数，总可以通过延拓来构造周期函数，然后 作傅里叶展开（即拷贝不走样）。设函数 f (x) 在坐标空间的区间 x l l − ,  上 满足 Dirichlet 条件，则 f (x) 的 Fourier 级数为，   =       = + + 1 0 ( ) cos sin n n n x l n x b l n f x a a   ， (− l  x  l) 其中， ( ) ( ) 0 1 ( )d 2 1 ( )cos d 1,2,3, 1 ( )sin d 1,2,3, , l l l n l l n l a f x x l n a f x x x n l l n b f x x x n l l   − − −  =     = =   = =     