52.2线性规划问题的典式 -a20,X1≥0，X2≥0，从而X=aX1+(1-a)X2≥0，即X满足条件(1.5).定 理得证 4 定理2.12线性规划问题(1.1，(1.)和(13)的可行解X是基本可行解的充要条件是 X的非零分量所对应的象数列向量线性无关」 证明：必要性由基本可行解的定义即可知结论成立 充分性不妨设可行解X的前k个分量不为0，即X-(c1,工2，，工k,0,,0)F乃，P2 P为X的非零分量所对应的系数列向量因为矩阵A的秩为m,若向量乃乃2 线性无关，则必有k≤m.当k=m时，乃，乃，A恰构成一基本矩阵，从而 X=(1,2,,xk,0,,0)T为对应的基本可行解当k<m时，则一定可从其余列 向量中取出m-k个与乃，B,,P一起构成A的一极大线性无关向量组，其对应的解 恰为X,根据定义可知X为基本可行解 定理2.1.3线性规划问题(1.1入、(1.2)、(1.3)的基本可行解X对应于可行域D的极点 定理2.1.4线性规划问题若有可行解.则必有基本可行解.即线性规划问题的可行域D 如非空，则必有极点 ■ 定理2.1.5线性规划问题(1.1以、1.2以、1.)若有最优解，则一定可以在可行城D的极点 顶点)上达到 注意，这个定理并不是说只有极点才能使目标函数值最优。其它点不能。而是说如果 在其它点上使目标函数达到最优则一定可以找到一个极点X使目标函数值达到最优例 如第一章第三节中的例5中有多重解时的情祝. 根据这个定理，如果一个线性规划向题有最优解，我们只要在基本可行解中寻找即 可（虽然不是基本可行解的解也有可能为最优解） 因为基本可行解最多有C”个，把基 本可行解一一检验，有限次后必得最优解但当n和m较大时，基本可行解的个数仍然 是一个很大的数，所以一一检验基本可行解的计算量太大后面介绍的单纯形法很好的 解决了这个问题，其基本思路就是把当前的基本可行解调整成目标函数值更优的基本可 行解，这样仅仅检验能够使得目标函数改进的基本可行解减少了搜索量，加快了计算速 度 S2.2线性规划问题的典式 考虑标准型的线性规划向题 max之-CX (2.6) 【AX=b 满足 1x20 (2.7) 对线性规划问题的一组可行基不妨设基变量为1,2，，工m,令A=(B,N),其中 B=(B,B,,Pm)为基阵，N=(Pm+1,,P)为非基变量对应的矩阵把C和X相 应地表示为： C=(CB.CN),X=(XB XN)T§2.2 ❥✁❦✁❧✁♠✧♥☛♦✧♣☛q✧r 3 , 1 − α ≥ 0, X1 ≥ 0,X2 ≥ 0, ★✡❡ X = αX1 + (1 − α)X2 ≥ 0, ❣ X ➴✡➷✡❴✡❵ (1.5). ➔ ✩✡✼✁❞. ✜✁◆ 2.1.2 ✵s❂s❯s❱t❲✉❳ (1.1), (1.2) ✈ (1.3) ✬s❨s❩s❬ X ✤s✇s①s❨s❩s❬s✬s②s③s❙s❚s✤ X ✬✧❭☛④✁⑤✁⑥✁⑦✁⑧✁⑨✁✬✧⑩☛❶✁❷✧❸☛⑥✁✵✁❂✁❹✧❺. ❪✁❫: ❻✁❼✡➨. ❽❥ÿ✡➼✡❳✡➌✡❏✡✕✡➔✡➐✁❣✡❳✁❾✡➜✡✧✡❨✁❿. ➀➂➁➨. ❄➂➃Ú❳➌❏ X ✕✠ k ✗✤❞❄❉ 0, ❣ X = (x1, x2, . . . , xk, 0, . . . , 0)T ,P1,P2,. . ., Pk ❉ X ✕✝✡✝☞✤❞☛ â✫✕✝➄Õá ã❞. ❤ ❉ÛÜ A ✕Ý❉ m, ➑ ã❞ P1,P2,. . ., Pk ✌✍✦ë, ➓➆➅▼ k ≤ m. ➇ k = m ➈,P1,P2,. . ., Pk ➉➆➊❨✖ÿ➼ ÛÜ , ★❡ X = (x1, x2, . . . , xk, 0, . . . , 0)T ❉â✫✕ÿ➼❳➌❏. ➇ k < m ➈, ➓✖➔❳★✾ûá ã❥❞❤✹❥ü✡■ m − k ✗✡✿ P1,P2,. . ., Pk ✖✁➋➊❨ A ✕✡✖✡é✡ê✡✌✡✍✡✦✡ë❤ã❥❞✡è, ✾✡â✡✫✡✕✡❏ ➉❉ X, ❵✁❛✡➔✡➐✡❳✁❾ X ❉✡ÿ✡➼✡❳✡➌✡❏. ✜✁◆ 2.1.3 ✵✁❂✁❯✁❱✧❲☛❳ (1.1)✪ (1.2)✪ (1.3) ✬✁✇✁①✁❨✁❩✁❬ X ⑧✁⑨✁➌✁❨✁❩✁➍ D ✬✁➎✁✮. ✜✁◆ 2.1.4 ✵s❂s❯s❱t❲✉❳s✰s➏s❨s❩s❬, ✸s➐s➏s✇s①s❨s❩s❬, ➑✉✵s❂s❯s❱t❲✉❳s✬s❨s❩s➍ D ➒ ❭✁✩, ✸✁➐✁➏✁➎✁✮. ✜✁◆ 2.1.5 ✵✁❂✁❯✁❱✧❲☛❳ (1.1)✪ (1.2)✪ (1.3) ✰✁➏✁➓✁➔✁❬, ✸✁✭✁→✁❨✧➣☛↔✁❨✁❩✁➍ D ✬✁➎✁✮ (↕✁✮) ✶✁➙✁➛. ➜ ➏✡ï✬↔✡✗✡➔✡✩✡➠✡❄✡✑✡➈✁❝✡▼✡é✡➣✁➝✡❯✡❢ÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡ý✡✚✡✵, ✾✁✞✡➣✡❄✡❯. ❡✡✑✡➈✟✁➞ ❋❈✾❴✞❈➣❈❬❈❢ Ñ✬➹❈Ô❈Õ❈Ö❈♠❈✚❈✵, ➓❈✖❈➔❈❳❈ä❴➟❈♠❈✖❈✗❈é❈➣ X ❢ Ñ✬➹❈Ô❈Õ❈ý❈Ö❈♠❈✚❈✵. ➠ ✟❾✡✖✡❿✡❾✡➀✡➁❤✹❥✕✁➠ 5 ✹❥▼✁➡✡✜✡❏✁➈✡✕✁➢✁➤. ❵s❛✢↔✢✗✢➔✢✩✢ï ✟s➞✖✢✗✢✌✢✍✢✎✢✏✢❑✢▲✢▼✢✚✢✵✢❏✢ïÓ↕✢➙s❝✢✣✢❋✢ÿ✢➼✢❳✢➌✢❏✺✹✉➥s➟s❣ ❳ (➦✢✴✢❄✢✑✢ÿ✢➼✢❳✢➌✢❏✢✕✢❏s➧✢▼✢❳✢❯✢❉✢✚✢✵✢❏). ❤❉✢ÿ✢➼✢❳✢➌✢❏✢✚s➡✢▼ C m n ✗, ➛✢ÿ ➼✡❳✡➌✡❏✡✖✡✖✁➨✁➩✡ï✬▼✁➫✁➭✁➯✁➅✡✼✡✚✡✵✡❏. ➲✁➇ n ✮ m ➳✡ê✁➈✡ï✬ÿ✡➼✡❳✡➌✡❏✡✕✡✗✡Õ✡✳✡✴ ✑✢✖✢✗s➵✢ê✢✕✢Õ✢ï ☛ ä✢✖✢✖s➨s➩✢ÿ✢➼✢❳✢➌✢❏✢✕✢✯✢✰✢❞s➸✢ê. ➯❏ ➂✢➃✢✕✢❀✢❁✢❂✢❃s➵✢✽✢✕ ❏✡❛✡➊✡↔✡✗✡❑✡▲✡ï✬✾✡ÿ✡➼s➺✁➻s▲✡✑✢➛s➇✠ ✕✢ÿ✡➼✢❳✢➌✡❏s➼✁➽✢❨ ÑÓ➹✢Ô✢Õ✡ýs➾✡✵✢✕✢ÿ✡➼✢❳ ➌❈❏❈ï ↔❴➚❴➪❴➪❴➨❴➩❈❯❴➶✡❢❈✼ÒÑÓ➹❈Ô✡Õ✁➹➢ ✕❈ÿ✡➼✡❳❈➌✡❏✡ï➴➘❴➷✡➊✁➬❴➮✡❞✡ï➴➱❈❲✡➊✡✯❈✰✡❘ ✲. §2.2 ⑥⑧⑦⑧⑨⑧⑩⑧❶⑧❷⑧❸❐✃❐❒ ❮✁❰➹✡➘✡➪✡✕✡✌✡✍✡✎✡✏✡❑✡▲: max z = CX (2.6) ➴✡➷ ( AX = b X ≥ 0 (2.7) â✡✌✡✍✡✎✡✏✡❑✡▲✡✕✡✖✡è✡❳✡➌✡ÿ, ❄✁➃Úÿ✡❝✡❞✡❉ x1, x2, . . . , xm, à A = (B, N), ✾❤✹ B = (P1, P2, . . . , Pm) ❉✡ÿÜ , N = (Pm+1, . . . , Pn) ❉✁✡✡ÿ✡❝✡❞✡â✡✫✡✕Û✡Ü. ➛ C ✮ X Ï ✫✡➇✁Ð✁Ñ✡❉: C = (CB, CN ), X = (XB, XN ) T