In2 aatatax-ltaln axa-lar 8.设f(x)和g(x)都可导,求下列函数y的导数 dv (1)y=f(e (2) y=f(sin x)+f(cos x) (3) y=In f(vx)+arctan g(x) (4)y=Vf2(x)+√g(x) Af(1)y=f'(e )ee/()+f(e )e/(x)/'(x)=f'(e )e/()+x+f(e )e/(a)f'(x) 2)y=f(sin x)2sin xcos x-f(cos x)2sin cosx sin 2x[f(sin x)-f'(cos x)] g fx)2x1+g2(x2)2x/(x)1+g2(x2) 2(x)f(x)+8(x) (4)y 2√8(x)4/(x)/(xs(x)+8(x) /2(x)+√8(x) f2(x)+√g(x)√g(x) 9.设f(x)在(-,D)内可导,证明:如果f(x)是偶函数,则f(x)是奇函数;如 果∫(x)是奇函数,则f(x)是偶函数 证如果∫(x)是偶函数,则有f(-x)=f(x),对等式两边对x求导 有,-f(-x)=f(x),从而f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数 如果∫(x)是奇函数,则有f(-x)=-f(x),对等式两边对x求导 有,-f(-x)=-f(x),从而f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数5 2 11 ln ln xa a x a aa a x aa a a x a ax a − − = ++ . 8. 设 f ( ) x 和 g( ) x 都可导, 求下列函数 y 的导数 d d y x . (1) ( ) (e )e x f x y f = ; (2) 2 2 yf x f x = + (sin ) (cos ); (3) 2 y f x gx = + ln ( ) arctan ( ) ; (4) 2 y f x gx = + () () . 解 (1) () () () () (e )e e (e )e ( ) (e )e (e )e ( ) x x fx x fx x fx x x fx y f f fx f f fx + ′ =+ =+ ′ ′′ ′ . (2) 2 2 y f x x xf x x x ′′ ′ = − (sin )2sin cos (cos )2sin cos 2 2 = − sin 2 [ (sin ) (cos )] x f xf x ′ ′ . (3) 2 2 22 22 ( ) 1 ( )2 ( ) 2 ( ) ( )2 2 ( ) 1 () 1 () f x g x x f x xg x y f x x xf x g x gx ′ ′′′ ′ = += + + + . (4) 2 2 ( ) 2 () () 2 () 4 () () () () 2 () () 4 () () () g x fxf x g x f xf x gx g x y f x gx f x gx gx ′ ′ + ′ + ′ ′ = = + + . 9. 设 f ( ) x 在 ( ,) −l l 内可导, 证明: 如果 f ( ) x 是偶函数, 则 f ′( ) x 是奇函数; 如 果 f ( ) x 是奇函数, 则 f ′( ) x 是偶函数. 证 如 果 f ( ) x 是偶函数 , 则 有 f ( ) () −x fx = , 对等式两边对 x 求 导 , 有, ( ) () − −= f ′ ′ x fx , 从而 f ′ ′ ( ) () − =− x fx , 即 f ′( ) x 是奇函数. 如 果 f ( ) x 是奇函数 , 则 有 f ( ) () −x fx = − , 对等式两边对 x 求 导 , 有, ( ) () − − =− f ′ ′ x fx , 从而 f ′ ′ ( ) () − = x fx , 即 f ′( ) x 是偶函数