作业解答三 作业7若0<<1,且 lim bn=0。用定义证明: n→∞ -+)0 证:>0,因imbn=0,故3N∈+,当n>N时,n2(1-)。记 n→∞ =max{b}+1.因lim=0,故对上述g,n1ez+,当n-n>n1 n→∞ 时,有n-1- 2M1-n+1于是当n>N+N1时,有 an-N "bo (1-1) 1+ -N-)+ Man-N (1+.+) =(1-),+man-n1-an+1s+=8 1-2n-N 一 1-22 故 n→∞ 作业8设f(x)连续,且当x>-1时,f(x)f(t)dt+1]=e 2(1+x)2 , 求f(x) 解:令g(x)=f(t)dt+1,则f(x)=g(x)。于是 0 (x)()= 2,两边积分得 2(1+x) xe x 2(1+x) dx,即g(x)dg(x) 2(1+xd 从而 g2(x) xe* dx,即g2(x)=xe,dx 22(1+x) (1+x)作业解答三 作业 7 若0 1 < λ < ，且 lim 0 n n b →∞ = 。用定义证明： 2 1 2 0 lim ( ) 0 n n n n n b bλ λ b λ b − − →∞ + + +"+ = 。 证：∀ > ε 0 ，因 lim n 0，故 n b →∞ = N + ∃ ∈] ，当n > N 时， (1 ) 2 nb ε < − λ 。记 max 0 1 { , , , } 1 M b N = b " b + lim 0 n n λ →∞ 。因 = ，故对上述ε ， ，当 时，有 N1 + ∃ ∈] 1 n N− > N 1 1 2 1 n N M N ε λ λ λ − + − < ⋅ − 。于是当n N> + N1时，有 2 1 1 2 0 1 1 1 0 1 (1 )(1 ) (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 2 2 n n N n n n n n N n N n n N n N N N n N N n N b b b b b b b b b M M λ λ λ λ λ ε λ λ λ λ λ λ λ ε λ λ ε ε λ λ ε λ λ λ − − − − − + − − − − + − + + + + ≤ + + + + + ≤ − + + + + + + + − − = − ⋅ + < + = − − " " " " − " 故 2 1 2 0 lim ( ) 0 n n n n n b bλ λ b λ b − − →∞ + + +"+ = 。 作业 8 设 f (x)连续，且当 x > −1时， 2 0 ( )[ ( ) 1] 2(1 ) x x xe f x f t dt x + = + ∫ ， 求 f (x)。 解：令 0 ( ) ( ) 1 x g x = f t dt + ∫ ，则 f ( ) x g = ′(x) 。于是 2 ( ) ( ) 2(1 ) x xe g x g x x ′ = + ，两边积分得 2 ( ) ( ) 2(1 ) x xe g x g x dx dx x ′ = + ∫ ∫ ，即 2 ( ) ( ) 2(1 ) x xe g x dg x dx x = + ∫ ∫ 从而 2 2 ( ) 2 2(1 ) x g x xe dx x = + ∫ ，即 2 2 ( ) (1 ) x xe g x dx x = + ∫ 。 1