另一方面，由R"的几何知，可以从Q,nQ牛中和x∈Q-cQ-Q,导出QQ,因此 d,ngf,)d≤d,f.01d d,f,0d≤dJ6(x,川d ≤合J6w1d长4(，0， 所以对x∈R-立有 dJ。f”(,1dx≤A(x,,只费x∈Q。 于是，f"(x,y)≤Af(x,y)。 由此，可以从⑥导出⑤，因为 |{x∈Rn-2:(∫R1f"*(x,y)Idy)/a>a}| ≤{x∈R-2:(J(,y1dy)1a>7} ≤21(f,y14y)1, 并且121≤A1(jmf(x,y)1dy)1l1。于是②得证。 由不等式②和p=q情况下的不等式①，应用定理1即可推知，当1<p<q<+∞时， 不等式①也成立。 最后，我们应有对偶的方法证明当p>q时，不等式①也成立。 由引理3，对任意正函数(x)有 7 ∫R"∫Rmlf(x,y)|9dy(x)dx= =∫Rmdy∫Raf*(x,y)|*(x)dx= =BaSR(SRmlf(x,y)1dy(x)dx 在⑦式中令(x)遍取L(R)的单位球上所有函数，其中r=pp-q>1,然后在左边取上 确界，并注意到g/p+1/r=1,可得到 I|JRmf"(x,y)l9dylIp/a≤Ba∫R(∫Rm|f(x,y)|9dy)(x)dx 在右边应用Holder不等式得 lJa▣f(x,y)Idyl|p/a≤BallSRmlf(x,y)Idy川lp,all(x)|r 再对(x)应用通常的极大定理，立得p>q情况下的不等式①。 97另一方面 ， 由 ” 的几 何知 ， 可 以从 等 必和 任 一 只 ‘ 成 导 出 』区 ， 因此 言罕丁 ，了 · “ ， 夕 ，，“ 下亩罕丁 ，了 · “ ， 夕 ，‘ 。 「 大 ， 、 ， ， 寸 ， ， ‘ 、 ， ， 可亏 ” 、 ‘ ” ” “ ‘ 诀 劝了 ，， 、 ‘ ， ， ，“ ‘ 镇派才 八 ， 夕 毛 二 ，夕 所 以对 任 ’ 一 只 有 启、丁 ‘ · ‘ ， 夕，，‘ 二 ‘ 犷 · ‘ ， ， ， ， 只 要 任 。 于是 ， ， ， 夕 百 ， 。 由此 ， 可 以从⑥ 导 出⑤ ， 因为 ， 二 呀 “ 一 只 丁 ， “ ’ 镇 二 。 一 万 。 口 · 二 ，， ， ， ， 浮 气 戈兰 了 二 ， 夕 “ 夕 ， ， ， 、 ， ‘ 。 ， ‘ 一 二 ， 。 二 ， ， 、 、 。 、 。 ， 一 ， ， 。 、 一 开且 “ 气 一 队 一 吸万 ， 川 ’ ‘ ’ 日 寸 足 迄少 寻 址 。 由不等式② 和 情况下 的不等式① ， 应 用定理 即 可 推知 ， 当 一卜 的时 ， 不等式①也成立 。 最 后 ， 我 们应 月对 偶 的方 法证 明当 时 ， 不等式①也成 立 。 由引理 ， 对 任 意正 函数 拟 幼 有 ⑦ 丁 了 】 ， 夕 “ 夕必 俨 夕 。 ， 夕 ” 必 丁 ， “ 必 二 在 ⑦式 中令 功 二 遍取 ’ ” 的单位球上所 有 函数 ， 其 中 一 ， 然后 东左 边取上 确界 ， 并注 意 到 引 厂 ， 可得 到 丁 。 。 ’ ， 夕 “ 夕 丁 丁 二 ， 夕 ” 夕 功 ‘ 二 在右边应用 不等式得 ， 夕 “ 夕 日 《 】 丁 二 ， 夕 “ 夕 功 ’ 川 再 对 毋 川 应 用通常的极大定理 ， 立得 情况 下 的不 等式①