f(x=(x-a(x)Bpf(x)=(x-a(x-a(x) 而因(x-a)(x-a)=x2-(a+a)x+a∈Rx],由此,f2(x)∈R[x]但另一方面,f(x) 是R[x]内任一首一不可约多项式,故f(x)=1。于是 f(x=(x-a(x-a)=x+px+q (p, Er) 因f(x)无实根,故p2-4q<0。这就证明了原命题。 由这个命题,我们得到下面的重要定理 定理R[x]内一个非零多项式f(x)可唯一的分解成 f(x)=a2(x-a1)(x-a2)2…(x-an)4x2+p1x+q)4…(x2+px+qy 其中a12…,a∈R,为f(x)的互不相同的全部实根,重数分别为k,…,k;而 P,q∈R,p2-4qn<0(=1…,s)1 2 2 f x x a f x f x x a x a f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = − = − − 即 而因 2 ( )( ) ( ) [ ] x a x a x a a x aa x − − = − + + R ，由此， 2 f x x ( ) [ ] R 。但另一方面， f x( ) 是 R[ ] x 内任一首一不可约多项式，故 2 f x( ) 1 = 。于是 2 f x x a x a x px q p q ( ) ( )( ) ( , ) = − − = + +  R 因 f x( ) 无实根，故 2 p q −  4 0 。这就证明了原命题。 由这个命题，我们得到下面的重要定理： 定理 R[ ] x 内一个非零多项式 f x( ) 可唯一的分解成 1 2 1 2 2 0 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r s k k k l l r s s f x a x a x a x a x p x q x p x q = − − − + + + + 其 中 1 a a ,..., r R ， 为 f x( ) 的 互 不 相 同 的 全 部 实 根 ， 重 数 分 别 为 1 ,..., r k k ； 而 2 p q p q i s i i i i , , 4 0( 1,..., )  −  = R