。254 北京科技大学学报 第31卷 所示. s.t.g(x)=12-x7-x-x,0≤x≤5. 其中，优化目标函数分别为： f1(x=6-[x+x1+x2+x3+x2+x]/10, 2(x)=10-[x+xi(2+x1十x3)十2x升x/10, f3(x=15-[x+x33十x1+x2+x3+3x/10. 给定设计目标的偏好区间边界如表1所示. 图44S类型高度期望区域的Hermite插值构造 表1设计目标偏好结构 Fig.4 Hemite formation of 4S in a high desirabe area Table 1 Preference structures of design obpcts 在[g1s,gL】[g,gs]两区域内，分别使用 设计 偏好 偏好区间边界值 2S和1S类型偏好函数的构造方法构造函数.最后 目标类型ga 82 83 g14 g15 4S类型的偏好函数是由三个函数段组成 3 425 6 7.5 9 f2 IS 3.7 7 9.25118 125 3综合偏好函数及物理规划数学模型 IS 612 1518 20 构建综合偏好函数的目的是构建一个反映每一 个类型偏好函数所能表达的优先或重点1.直接 根据表1中的数据，构造各类型的偏好函数，本 的方法是，把每个类型偏好函数相加并取对数（以 问题全部为1S类型的偏好函数，根据物理规划系数 10为底或自然对数)，综合偏好函数实际最小化形 推导，经计算，得出三个偏好函数的分段系数为（第 式如下： 一个设计目标)： [A作B阶CD片E的= F(x)=n fHg:(x}或 「0.0656-1.04686.3684 -16.9982 16.7328 0.0444-1.00248.6113 -31.985643.3961 (17) 0.5248-15.0938163.9410-789.13651415.5733 S.t. L2.1491-74.6993978.4270-5688.906912355.8824 g(x)≤gi5(1S型) (18) 其余两个系数推导同理，略. g(x)≥g5(2S型 (19) 然后构造综合偏好函数作为优化目标使用遗 85L≤g(x)≤g5R(3S型) (20) 传算法对模型优化求解，得到优化解为： x=(2.5577,0.9152.2.1488). g5L≤g(x)≤g5R(4S型) (21) 对应的设计目标值为： g(x)≤gM(1H型) (22) fx)=(0.5878,6.6135,7.2711). g(x)≥gm(2H型) (23) 从结果可以看出，第一个设计目标值在高度期 g(x)=gv(3H型) (24) 望区域内，其余两个设计目标值都在可容忍区域内， 8m≤g(x)≤gM(4H型) (25) 尽管不是设计最理想状态，但结果还是可以接受的. xjm≤x≤rM(设计变量约束) (26) 5结论 式中，x=[x1,x2,；xn,设计变量矢量；F(x) 为综合偏好函数，欲优化的函数：fg(x]为各类 通过对各类型偏好函数的量化推导，建立了各 型偏好函数；g:(x)为设计目标、约束条件；gm·gM、 类型的偏好函数表达式，表达式为分段的以目标为 xjm和M表示最小和最大值；g为等式约束. 变量的高次多项式.把各类型偏好函数组合，建立 式(17)~(26)即为物理规划数学模型.模型遵 了综合偏好函数，从而确定了基于偏好设计的物理 循多数非线性规划框架结构，可以用标准优化方法 规划数学模型，可以采用标准优化方法求解. 求解. 物理规划是一种解决多目标的、依据工程实际 4算例分析 需要建立优化数学模型的方法.在应用中，设计者 可以根据需要建立不同类型的偏好函数，在优化计 多目标优化的数学模型为： 算时可以反复调整满意度区间，观察结果，最终以求 minF(x)=[f(x),f2(x),f3(x)], 出满意解为止.所示 . 图 4 4S 类型高度期望区域的Hermite 插值构造 Fig.4 Hermite formation of 4S in a high desirable area 在[ gL5 , g L1 ] 、[ g R1 , g R5 ] 两区域内, 分别使用 2S 和 1S 类型偏好函数的构造方法构造函数 .最后 4S 类型的偏好函数是由三个函数段组成 . 3 综合偏好函数及物理规划数学模型 构建综合偏好函数的目的是构建一个反映每一 个类型偏好函数所能表达的优先或重点[ 8-10] .直接 的方法是, 把每个类型偏好函数相加并取对数( 以 10 为底或自然对数) .综合偏好函数实际最小化形 式如下: F ( x) =lg 1 n sc ∑ n sc i =1 fi[ gi( x)] 或 F ( x) =ln 1 nsc ∑ n sc i =1 fi[ gi( x)] ( 17) s.t . gi( x) ≤gi 5 ( 1S 型) ( 18) gi( x) ≥gi 5 ( 2S 型) ( 19) gi 5L ≤gi( x ) ≤gi5R ( 3S 型) ( 20) gi 5L ≤gi( x ) ≤gi5R ( 4S 型) ( 21) gi( x) ≤giM ( 1H 型) ( 22) gi( x) ≥gi m ( 2H 型) ( 23) gi( x) =gi v ( 3H 型) ( 24) gim ≤gi( x) ≤giM ( 4H 型) ( 25) xj m ≤xj ≤xjM (设计变量约束) ( 26) 式中, x =[ x 1, x 2, …, xn] T , 设计变量矢量 ;F ( x ) 为综合偏好函数, 欲优化的函数;fi[ gi( x )] 为各类 型偏好函数;gi( x)为设计目标 、约束条件 ;gim 、giM 、 x jm和 xjM表示最小和最大值;giv为等式约束 . 式( 17) ～ ( 26)即为物理规划数学模型.模型遵 循多数非线性规划框架结构, 可以用标准优化方法 求解 . 4 算例分析 多目标优化的数学模型为 : minF( x ) =[ f 1( x), f 2( x), f 3( x)] , s .t .g( x) =12 -x 2 1 -x 2 2 -x 2 3, 0 ≤xi ≤5 . 其中, 优化目标函数分别为 : f 1( x) =6 -[ x 3 1 +x 2 1( 1 +x 2 +x 3) +x 3 2 +x 3 3] /10, f 2( x) =10-[ x 3 1+x 2 2(2 +x 1+x 3) +2x 3 2+x 3 3] /10, f 3( x) =15-[ x 3 1+x 2 3(3 +x 1+x 2) +x 3 2 +3x 3 3] /10 . 给定设计目标的偏好区间边界如表 1 所示 . 表 1 设计目标偏好结构 Table 1 Preference structures of design objects 设计 目标 偏好 类型 偏好区间边界值 g i1 gi2 gi3 gi4 g i5 f 1 1S 3 4.25 6 7.5 9 f 2 1S 3.7 7 9.25 11.8 12.5 f 3 1S 6 12 15 18 20 根据表 1 中的数据, 构造各类型的偏好函数, 本 问题全部为 1S 类型的偏好函数, 根据物理规划系数 推导, 经计算, 得出三个偏好函数的分段系数为(第 一个设计目标) : [ A k 1 B k 1 C k 1 D k 1 E k 1] = 0.065 6 -1.046 8 6.368 4 -16.998 2 16.732 8 0.044 4 -1.002 4 8.611 3 -31.985 6 43.396 1 0.524 8 -15.093 8 163.941 0 -789.136 5 1 415.573 3 2.149 1 -74.699 3 978.427 0 -5 688.906 9 12 355.882 4 其余两个系数推导同理, 略 . 然后构造综合偏好函数作为优化目标, 使用遗 传算法对模型优化求解, 得到优化解为: x =( 2.557 7, 0.915 2, 2.148 8) . 对应的设计目标值为: f ( x) =( 0.587 8, 6.613 5, 7.271 1) . 从结果可以看出, 第一个设计目标值在高度期 望区域内, 其余两个设计目标值都在可容忍区域内, 尽管不是设计最理想状态, 但结果还是可以接受的. 5 结论 通过对各类型偏好函数的量化推导, 建立了各 类型的偏好函数表达式, 表达式为分段的以目标为 变量的高次多项式 .把各类型偏好函数组合, 建立 了综合偏好函数, 从而确定了基于偏好设计的物理 规划数学模型, 可以采用标准优化方法求解. 物理规划是一种解决多目标的 、依据工程实际 需要建立优化数学模型的方法 .在应用中, 设计者 可以根据需要建立不同类型的偏好函数, 在优化计 算时可以反复调整满意度区间, 观察结果, 最终以求 出满意解为止. · 254 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷