第二学期第二十五次课 1223一元多项式的判别式的定义 给定K[x]内一个n次多项式 F(x)=ax"+a1x+…+an(a0≠0) 设a1,a2…,an是它的n个根,令 D(F)=a△(a1x…,.xn) 称其为F(x)的判别式。显然,F(x)有重根,其充分必要条件是D(F)=0 现在考察n元式 △(ax2…an)=∏(a-a1)2 :∈Qa,…,anl 对于任意a∈Sn,有 a() aa do2) an=/a, a2 a 故Δ是一个对称多项式。按照对称多项式的基本定理,存在φ(x1…,xn)∈Qx2…,xn],使 n)=9( 由Ⅴeta定理:a,(a1…,an)=(-1)a/a(=1,2,…,nm) 于是 D(F) ) §3结式 1231两个一元多项式的结式的定义 考虑域K上的多项式 f(x)=ax"+a1xm+…+an g(x)=bxm+bxm+…+b 由给定K上多项式第二学期第二十五次课 12.2.3 一元多项式的判别式的定义 给定 K x[ ] 内一个 n 次多项式 1 0 1 0 ( ) ( 0). n n F x a x a x a a n − = + + +  设 1 2 , ,...,   n 是它的 n 个根，令 2 2 0 1 ( ) ( ,..., ), n D F a  n − =  称其为 F x( ) 的判别式。显然， F x( ) 有重根，其充分必要条件是 D F( ) 0 = 。 现在考察 n 元式 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 ( ,..., ) ( ) [ ,..., ]. Q n n i j n j i n n n n n                − − −  = − =   对于任意 n  S ，有 2 2 (1) (2) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 1 (1) (2) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) . n n n n n n n n n n                    − − − − − −  = = =  故  是一个对称多项式。按照对称多项式的基本定理，存在 1 1 ( ,..., ) [ ,..., ] x x x x n n Q ，使 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ).  =      n n 由 Viéta 定理： 1 0 ( ,..., ) ( 1) ( 1,2,..., ). i i n i    = − = a a i n 于是 2 2 0 1 0 0 ( ) ( ,...,( 1) ). n n D F a a a a a  n − = − − §3 结式 12.3.1 两个一元多项式的结式的定义 考虑域 K 上的多项式 1 0 1 1 0 1 ( ) , ( ) . n n n m m m f x a x a x a g x b x b x b − − = + + + = + + + 由给定 K 上多项式