第一学期第二十九次课 第五章§1双线性函数 511线性空间上的线性函数的定义 线性函数的定义 定义设为数域K上的线性空间,∫:V→K为映射,满足 f(a+B)=f(a)+f(B),va,B∈V;f(ka)=(a),k∈K,a∈V,则称∫为由V到 K的一个线性函数(即∫为V到K的一个线性映射) 如同一般的线性映射,有以下事实 i)、∫:V→K是线性函数当且仅当f(ka+lB)=l(a)+J(B) i)、f(0)=0 i)、f(-a)=-f(a)。 命题数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成K上 的n维线性空间。 证明容易证明数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体关于函数加法和数乘 构成线性空间。定义线性函数∫,j=1,2,…n,使得对于V/K的某一组基51E2…,En, f(=)=5。则可以验证∫构成上述线性空间的一组基 定义由数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体构成的线性空间称为V的对 偶空间,记为 512双线性函数 1、双线性函数的定义 定义设V为数域K上的线性空间,∫:V×V→>K为映射,满足 i), f(k,+k,a2, B)=kf(a, B)+k,f(a2,P) i)、f(a,lB1+2B2)=lf(a,B1)+l2(a,B2), 其中k,k2,212∈K,a,a1,a2,B,B1B2∈V。则称∫为V上的一个双线性函数 2、双线性函数在给定基下的矩阵 设E1E2…,En为上的一组基,f:V×→K为双线性函数,Va,B∈V,设 a=x+x2E2+…+xEn;B=V1+y2E2+…+yEn则第一学期第二十九次课 第五章 §1 双线性函数 5.1.1 线性空间上的线性函数的定义 1、线性函数的定义 定 义 设 V 为数域 K 上 的 线 性 空 间 ， f V K : → 为映射，满足 f f f V ( ) ( ) ( ), ,       + = +   ； f k kf k K V ( ) ( ), ,    =    ，则称 f 为由 V 到 K 的一个线性函数（即 f 为 V 到 K 的一个线性映射）。 如同一般的线性映射，有以下事实： i）、 f V K : → 是线性函数当且仅当 f k l kf lf ( ) ( ) ( )     + = + ； ii）、 f (0) 0 = ； iii）、 f f ( ) ( ) − = −   。 命题 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成 K 上 的 n 维线性空间。 证明 容易证明数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性函数的全体关于函数加法和数乘 构成线性空间。定义线性函数 , 1,2, , j f j n = ，使得对于 V K/ 的某一组基 1 2 , , , n    ， ( ) j i ij f   = 。则可以验证 j f 构成上述线性空间的一组基。 定义 由数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性函数的全体构成的线性空间称为 V 的对 偶空间，记为  V ； 5.1.2 双线性函数 1、双线性函数的定义 定义 设 V 为数域 K 上的线性空间， f V V K :  → 为映射，满足 i）、 1 1 2 2 1 1 2 2 f k k k f k f ( , ) ( , ) ( , )        + = + ； ii）、 1 1 2 2 1 1 2 2 f l l l f l f ( , ) ( , ) ( , )        + = + ， 其中 1 2 1 2 1 2 1 2 k k l l K V , , , , , , , , ,         。则称 f 为 V 上的一个双线性函数。 2、双线性函数在给定基下的矩阵 设 1 2 , , , n    为 V 上的一组基， f V V K :  → 为双线性函数，    , V ，设 1 1 2 2 n n     = + + + x x x ； 1 1 2 2 n n     = + + + y y y ，则