(14)G(+sin x)arctan x-(x+sin x)(arctan x) arctan"x (1+x(+ cos x)arctan x-(x+sin x) 4.求曲线y=lnx在(e,1)处的切线方程和法线方程。 解因为y(e) 1,切线方程为 y=-(x-e)+ 法线方程为 y=-e(x-e)+1=-ex+(e+1) 5.当a取何值时,直线y=x能与曲线y=log。x相切,切点在哪里? 解设切点为(x0,x),由于y=x是y=f(x)=lgnx的切线,其斜率为1 所以f(x0)=xa=1,故x=1。又由f(x)= loga x=na 得到 xo 即x0=e,从而a 切点为 6.求曲线y=xn(n∈N+)上过点(1)的切线与x轴的交点的横坐标xn, 并求出极限limy(xn)。 解因为y()=mnx1=n,所以过点1)的切线为y=m(x-1)+1,它与 x轴交点的横坐标为x=n-,因此 n lim y(x)=lim(-) 7.对于抛物线y=ax2+bx+c,设集合 S1={(x,y)过(x,y)可以作该抛物线的两条切线}; S2={(x,y)过(x,y)只可以作该抛物线的一条切线} S3={(x,y)过(x,y)不能作该抛物线的切线}, 请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。（14） x x x x x x x f x 2 arctan ( sin )'arctan ( sin )(arctan )' '( ) + − + = x x x x x x x 2 2 2 (1 ) arctan (1 )(1 cos ) arctan ( sin ) + + + − + = 。 4. 求曲线 y x = ln 在(e,1)处的切线方程和法线方程。 解 因为 x e y e x e 1 1 '( ) = = = ，切线方程为 1 ( ) 1 x y x e e e = − + = , 法线方程为 2 y e = − ( ) x − e +1 = −ex + (e +1)。 5. 当a取何值时，直线 y = x 能与曲线 y x = a log 相切，切点在哪里？ 解 设切点为(x0 , x0 )，由于 y = x 是 ( ) loga y f = x = x的切线，其斜率为 1， 所以 1 ln 1 '( ) 0 0 = = x a f x ，故 a x ln 1 0 = 。又由 0 0 0 ln ( ) log ln a x 0 f x x a = = = x ，得到 ln x0 = 1，即 x = e 0 ，从而 ，切点为 。 −1 = e a e (e, e) 6．求曲线 y = x（n n ∈ N+）上过点( , 1 1)的切线与x轴的交点的横坐标 ， 并求出极限 。 x n lim ( ) n n y x →∞ 解 因为 y nx n x n = = = − 1 1 '(1) ，所以过点( , 1 1)的切线为 y = n(x −1) +1，它与 x轴交点的横坐标为 1 n n x n − = ，因此 n e n y x n n n n 1 ) 1 lim ( ) lim( = − = →∞ →∞ 。 7. 对于抛物线 y a = + x 2 bx + c ，设集合 S1 = {(x, y) | 过(x, y)可以作该抛物线的两条切线}； S { 2 = (x y, )|过(x y, )只可以作该抛物线的一条切线}； S3 = {( , x y)|过( , x y)不能作该抛物线的切线}， 请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。 67