4.1.1d'Alembert公式 注（①(4.1.3）式给出了方程(4.1.1)的通解(x,t)=F(x-)十G(x+).对于F(x-),在点x处于 初始时刻O,其值是Fx).当t>0时，在点x=x+t处的值仍然是F(x-)=F(x+t-) =F(xo).这说明，对于固定的t>0,Fx-)的图形是由F(x)的图形向右平移t的距离 而得到的。特别地，在单位时间内（即仁1），移动距离是1.也就是说，F(x-)保持初 始波形F(x)不变而以速度1向右传播。这个波称为右传播波或右行波。 类似地，G(x+)表示一个保持初始波形Gx)不变而以速度1向左传播的波。这个 波称为左传播波或左行波。 d'Alembert公式：初值问题(4.1.1)和(4.1.2)的解是一个右行波和一个左行波的叠加。 注(ii由d'Alembert公式(4.1.7)可知，当p∈C,w∈C-时有u∈C,但一般不再 具有更高阶的光滑性，这一点是和Laplace方程及热传导方程的解不一样的。 1010 4.1.1 dꞌAlembert公式 注(i) (4.1.3)式给出了方程(4.1.1)的通解 u(x,t)=F(x-t)+G(x+t). 对于F(x-t), 在点x0处于 初始时刻 t=0, 其值是 F(x0 ). 当 t >0 时，在点 x= x0 +t 处的值仍然是 F(x-t)=F(x0+t-t) =F(x0 ). 这说明，对于固定的 t > 0, F(x-t)的图形是由 F(x) 的图形向右平移 t 的距离 而得到的。特别地，在单位时间内(即 t=1), 移动距离是1. 也就是说，F(x-t)保持初 始波形 F(x)不变而以速度 1 向右传播。这个波称为右传播波或右行波。 类似地，G(x+t)表示一个保持初始波形 G(x) 不变而以速度1向左传播的波。这个 波称为左传播波或左行波。 d’Alembert公式：初值问题(4.1.1)和(4.1.2)的解是一个右行波和一个左行波的叠加。 注(ii) 由d’Alembert公式(4.1.7)可知，当 时有 ，但 u 一般不再 具有更高阶的光滑性，这一点是和Laplace方程及热传导方程的解不一样的。 1 , k k   C C    k u C