第二十四讲(一)柱函数(三) §24.1半奇数阶 Bessel函数 本节讨论另一类特殊的 BesselBessel函数:半奇数阶的函数 先讨论J12(x): J12(x)=∑ (-) 2k+1/2 2(- k(k+3/2)2 k=0(2k+1) x2k+1 2 =1-sin x. 丌 丌 k=0 所以,J12(x)是初等函数.同样也能推出 J-1/2(x)= 2 -COST. 丌x 实际上,把J(x)的两个递推关系改写成 -"() x-1Jv-1(x) 1 d xdr x-J ()=x-(+1)+(), 就可以得到 x-n-1/2J n+1/2(x)=1dn sin x xdrz-1y(). 因此,任意一个半奇数阶 Bessel函数都是初等函数,都是幂函数和三角函数的复合函数 显然,Jn+1/2(x)与J-(n+1/2)(x)是线性无关的, Wn+1/2(),-(n+1/2)(x)=(-)n+1 而Nn+1/2(x)与J-(n+1/2)(x)线性相关, Nn+1/2(x)= cos(n+1/2)Jn+12(x)-J-(n+1/2)(x) sin(n+1/2) =(-)+1-(n+1/2)()Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎ (✆) ✝ ✞ ✟ (✠) §24.1 ✡☛☞✌ Bessel ✍☞ ✎✏✑✒✓✔✕✖✗✘ Bessel ✙✚✛✜✢✚✣✘ Bessel ✙✚✤ ✥✑✒ J1/2(x) ✛ J1/2(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + 3/2) x 2 2k+1/2 = r 2 πx X∞ k=0 (−) k (2k + 1)!x 2k+1 = r 2 πx sin x. ✦✧★ J1/2(x) ✩✪✫✙✚✤✬✭✮✯✰✱ J−1/2(x) = r 2 πx cos x. ✲✳✴★✵ Jν(x) ✘✶✷✸✰✹✺✻✼✽  1 x d dx  x ν Jν(x) = x ν−1 Jν−1(x),  − 1 x d dx  x −ν Jν(x) = x −(ν+1)Jν+1(x), ✾✿✧❀❁ x −n+1/2 J−n+1/2(x) =  1 x d dx n x 1/2 J1/2(x) =  1 x d dx nr 2 π sin x, x −n−1/2 Jn+1/2(x)= − 1 x d dx n x −1/2 J1/2(x)= − 1 x d dx nr 2 π sin x x . ❂❃★❄❅✔✷✜✢✚✣ Bessel ✙✚❆✩✪✫✙✚★ ❆✩❇✙✚❈❉❊✙✚✘❋●✙✚✤ ❍■★ Jn+1/2(x) ❏ J−(n+1/2)(x) ✩❑▲▼✹✘★ W[Jn+1/2(x), J−(n+1/2)(x)] = (−) n+1 2 πx . ◆ Nn+1/2(x) ❏ J−(n+1/2)(x) ❑▲❖✹★ Nn+1/2(x) = cos(n + 1/2)π · Jn+1/2(x) − J−(n+1/2)(x) sin(n + 1/2)π = (−) n+1J−(n+1/2)(x)