教案 条件极值问题与 Lagrange乘数法 1.教学内容 讲解 Lagrange乘数法的原理,并介绍如何应用 Lagrange乘数法求解条件极值问 题 2.指导思想 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题, Lagrange乘数法是解决条件极值 问题的一个有效的工具,也是数学分析课程教学上的一个难点,讲好这一节课程, 对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义 3.教学安排 1.在考虑函数的极值或最值问题时,经常需要对函数的自变量附加一定的条 件。例如,求原点到直线 x+2y+3=6 的距离,就是在限制条件x+y+z=1和x+2y+3z=6的情况下,计算函数 f(x,y,2)=√x2+y2+2的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 以三元函数为例,条件极值问题的提法是:求目标函数 f(x,y, z) 在约束条件 G(x,y,=)=0, (x,y,z)=0 下的极值。 假定∫,F,G具有连续偏导数,且 Jacobi矩阵 GGG 在满足约束条件的点处是满秩的,即 rank J=2 先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程 设曲线上一点(x0,y,0)为条件极值点,由于在该点 rank J=2,不妨假设在 (x,y,2)点C≠0,则由隐函数存在定理,在(xn,3,=0)附近由该方程可 以唯一确定 y=y(x),z=(x),x∈O(x0,p)(y=y(x0),-0=x(x0)) 它是这个曲线方程的参数形式 将它们代入目标函数,原问题就转化为函数 Φ(x)=f(x,y(x),(x),x∈O(x0,P) 的无条件极值问题,x0是函数Φ(x)的极值点,因此Φ(x)=0,即 dy (x0,yo,=0)+Jr(x,y1o,=o)x+f(x,yo,=0)x=0 这说明向量教案 条件极值问题与 Lagrange 乘数法 1. 教学内容 讲解 Lagrange 乘数法的原理，并介绍如何应用 Lagrange 乘数法求解条件极值问 题。 2. 指导思想 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题， Lagrange 乘数法是解决条件极值 问题的一个有效的工具，也是数学分析课程教学上的一个难点，讲好这一节课程， 对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义。 3. 教学安排 1．在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条 件。例如，求原点到直线 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 的距离，就是在限制条件 + + zyx = 1 和 + + zyx = 632 的情况下，计算函数 222 ),,( ++= zyxzyxf 的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数 zyxf ),,( 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0),,( ,0),,( zyxH zyxG 下的极值。 假定 具有连续偏导数，且 ,, GFf Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = zyx zyx HHH GGG J 在满足约束条件的点处是满秩的，即 J = 2rank 。 先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程。 设曲线上一点 为条件极值点，由于在该点 ),,( 000 zyx J = 2rank ，不妨假设在 zyx 000 ),,( 点 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ zy HG ，则由隐函数存在定理，在 附近由该方程可 以唯一确定 ),,( 000 zyx ,(),(),( ) = = ∈ xOxxzzxyy 0 ρ （ )(),( 0 00 0 = = xzzxyy ）。 它是这个曲线方程的参数形式。 将它们代入目标函数，原问题就转化为函数 ),()),(),(,()( =Φ ∈ xOxxzxyxfx 0 ρ 的无条件极值问题， 是函数 0 x Φ x)( 的极值点，因此 0)( Φ′ x0 = ，即 0),,(),,(),,( 000 + 000 + 000 = dx dz zyxf dx dy zyxfzyxf x y z 。 这说明向量 1